Решите систему 3x-xy=10 y+xy=6. спасибо за ранее

Для решения данной системы уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим y через x: y = 6 - xy Подставим это выражение в первое уравнение: 3x - x(6 - xy) = 10 3x - 6x + x^2y = 10 -x^2y + 3x - 6x = 10 -x^2y - 3x = 10 x^2y + 3x = -10

2. Метод сложения/вычитания уравнений: Умножим первое уравнение на -1: -3x + xy = -10 Сложим это уравнение с вторым: -3x + xy + y + xy = -10 + 6 -3x + 2xy + y = -4 y(2x + 1) = -4 y = -4 / (2x + 1)

Таким образом, мы получили два уравнения, в которых одна из переменных выражена через другую. Далее можно подставить полученные выражения в одно из исходных уравнений и найти значения переменных x и y.

Для решения системы уравнений:

[ \begin{cases} 3x - xy = 10 \ y + xy = 6 \end{cases} ]

можно использовать метод подстановки или метод алгебраического сложения. Я разберу оба метода:

Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим ( y ) через ( x ): [ y + xy = 6 \implies y(1 + x) = 6 \implies y = \frac{6}{1 + x} ]

2. Подставим выражение для ( y ) в первое уравнение: [ 3x - x\left(\frac{6}{1 + x}\right) = 10 ]

3. Умножим обе части на ( 1 + x ) для избавления от дроби: [ (3x)(1 + x) - 6x = 10(1 + x) ]

4. Раскроем скобки и упростим уравнение: [ 3x + 3x^2 - 6x = 10 + 10x ] [ 3x^2 - 13x - 10 = 0 ]

5. Решим квадратное уравнение ( 3x^2 - 13x - 10 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 ]

6. Найдем корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{6} ]

   Таким образом, ( x_1 = 5 ) и ( x_2 = -\frac{2}{3} ).

7. Подставим найденные значения ( x ) в выражение для ( y ):

   • Для ( x = 5 ): [ y = \frac{6}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1 ] Получаем решение ( (x, y) = (5, 1) ).

   • Для ( x = -\frac{2}{3} ): [ y = \frac{6}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 18 ] Получаем решение ( (x, y) = \left(-\frac{2}{3}, 18\right) ).

Метод алгебраического сложения:

1. Из первого уравнения выразим ( xy ): [ xy = 3x - 10 ]

2. Подставим это выражение во второе уравнение: [ y + (3x - 10) = 6 \implies y = 16 - 3x ]

3. Подставим выражение для ( y ) в уравнение ( xy = 3x - 10 ): [ x(16 - 3x) = 3x - 10 ]

4. Упростим уравнение: [ 16x - 3x^2 = 3x - 10 ] [ 3x^2 - 13x - 10 = 0 ]

5. Решаем это уравнение, как было показано в методе подстановки, и получаем те же корни.

Таким образом, система имеет два решения: ( (5, 1) ) и ( \left(-\frac{2}{3}, 18\right) ).