Решите систему уравнений 7х + 3у = 1, 2х - 6у = -10

Для решения системы уравнений:

1) ( 7x + 3y = 1 )
2) ( 2x - 6y = -10 )

мы можем использовать метод подстановки или методом исключения. В данном случае я буду использовать метод подстановки.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.

Из первого уравнения выразим ( y ):

[ 3y = 1 - 7x \ y = \frac{1 - 7x}{3} ]

Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение.

Подставим найденное выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ 2x - 6\left(\frac{1 - 7x}{3}\right) = -10 ]

Упрощаем это уравнение:

[ 2x - 2(1 - 7x) = -10 \ 2x - 2 + 14x = -10 \ 16x - 2 = -10 ]

Шаг 3: Решим уравнение для ( x ).

Добавим 2 к обеим сторонам уравнения:

[ 16x = -8 \ x = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2} ]

Шаг 4: Найдем ( y ).

Теперь подставим значение ( x ) обратно в выражение для ( y ):

[ y = \frac{1 - 7\left(-\frac{1}{2}\right)}{3} \ y = \frac{1 + \frac{7}{2}}{3} \ y = \frac{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}{3} \ y = \frac{\frac{9}{2}}{3} \ y = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} ]

Шаг 5: Запишем ответ.

Таким образом, решение системы уравнений:

[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2} ]

Проверка.

Подставим найденные значения ( x ) и ( y ) в исходные уравнения для проверки:

1) ( 7(-\frac{1}{2}) + 3(\frac{3}{2}) = -\frac{7}{2} + \frac{9}{2} = 1 ) (верно)

2) ( 2(-\frac{1}{2}) - 6(\frac{3}{2}) = -1 - 9 = -10 ) (верно)

Таким образом, система уравнений решена верно, и ее решение:

[ (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) ]

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( 7x + 3y = 1 )
2. ( 2x - 6y = -10 )

Мы решим её двумя методами: методом подстановки и методом сложения (линейных комбинаций).

Метод подстановки

Шаг 1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.
Удобнее выразить ( x ) или ( y ) из первого уравнения (( 7x + 3y = 1 )). Выразим ( x ):
[ 7x = 1 - 3y ] [ x = \frac{1 - 3y}{7}. ]

Шаг 2. Подставим выражение для ( x ) во второе уравнение ( 2x - 6y = -10 ):
[ 2\left(\frac{1 - 3y}{7}\right) - 6y = -10. ]

Упростим:
[ \frac{2(1 - 3y)}{7} - 6y = -10. ] [ \frac{2 - 6y}{7} - 6y = -10. ]

Умножим всё уравнение на 7, чтобы избавиться от дроби:
[ 2 - 6y - 42y = -70. ]

Объединим подобные слагаемые:
[ 2 - 48y = -70. ]

Перенесём 2 в правую часть:
[ -48y = -70 - 2. ] [ -48y = -72. ]

Разделим на (-48):
[ y = \frac{-72}{-48} = \frac{3}{2}. ]

Шаг 3. Найдём ( x ), подставив значение ( y = \frac{3}{2} ) в выражение для ( x = \frac{1 - 3y}{7} ):
[ x = \frac{1 - 3\cdot\frac{3}{2}}{7}. ] [ x = \frac{1 - \frac{9}{2}}{7}. ] [ x = \frac{\frac{2}{2} - \frac{9}{2}}{7}. ] [ x = \frac{-\frac{7}{2}}{7}. ] [ x = -\frac{1}{2}. ]

Итак, решение системы:
[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2}. ]

Метод сложения (линейных комбинаций)

Шаг 1. Умножим уравнения на такие числа, чтобы при сложении или вычитании исключить одну из переменных.
Выберем, например, ( x ). Для этого уравнения умножим на такие коэффициенты, чтобы коэффициенты при ( x ) стали одинаковыми (наименьшее общее кратное для 7 и 2 — это 14).
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7: [ 2(7x + 3y) = 2(1), \quad \text{и} \quad 7(2x - 6y) = 7(-10). ] [ 14x + 6y = 2, \quad 14x - 42y = -70. ]

Шаг 2. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить ( x ):
[ (14x + 6y) - (14x - 42y) = 2 - (-70). ] [ 14x + 6y - 14x + 42y = 2 + 70. ] [ 48y = 72. ]

Разделим на 48:
[ y = \frac{72}{48} = \frac{3}{2}. ]

Шаг 3. Подставим ( y = \frac{3}{2} ) в одно из исходных уравнений, например, в ( 7x + 3y = 1 ):
[ 7x + 3\cdot\frac{3}{2} = 1. ] [ 7x + \frac{9}{2} = 1. ] [ 7x = 1 - \frac{9}{2}. ] [ 7x = \frac{2}{2} - \frac{9}{2}. ] [ 7x = -\frac{7}{2}. ]

Разделим на 7:
[ x = -\frac{7}{2} \div 7 = -\frac{1}{2}. ]

Итак, решение системы:
[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2}. ]

Ответ:

Система уравнений имеет единственное решение:
[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2}. ]