Решите систему уравнений х+у=1 х^2+у^2=25
Решите систему уравнений х+у=1 х^2+у^2=25
Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую.
Сначала из первого уравнения выразим одну переменную через другую: x = 1 - y
Подставим это выражение во второе уравнение: (1 - y)^2 + y^2 = 25 1 - 2y + y^2 + y^2 = 25 2y^2 - 2y - 24 = 0 y^2 - y - 12 = 0
Решим квадратное уравнение: D = (-1)^2 - 41(-12) = 1 + 48 = 49 y1,2 = (1 ± √49) / 2 = (1 ± 7) / 2
y1 = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4 y2 = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3
Теперь найдем соответствующие значения x: x1 = 1 - 4 = -3 x2 = 1 - (-3) = 4
Итак, у нас два набора решений: 1) x = -3, y = 4 2) x = 4, y = -3
Проверим оба набора, подставив их в исходную систему уравнений: 1) -3 + 4 = 1, (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 2) 4 - 3 = 1, 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25
Оба набора удовлетворяют исходной системе уравнений, поэтому это и есть их решения.
Для решения данной системы уравнений начнем с первого уравнения:
Из этого уравнения выразим ( y ):
[ y = 1 - x ]
Теперь подставим полученное выражение для ( y ) во второе уравнение системы:
[ x^2 + (1 - x)^2 = 25 ]
Раскроем скобки в выражении ( (1 - x)^2 ):
[ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 ]
Теперь уравнение принимает вид:
[ x^2 + 1 - 2x + x^2 = 25 ]
[ 2x^2 - 2x + 1 = 25 ]
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 ]
Разделим обе части уравнения на 2:
[ x^2 - x - 12 = 0 ]
Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 ]
[ \sqrt{D} = 7 ]
Теперь найдем корни уравнения:
[ x_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 ]
Теперь найдем соответствующие значения ( y ):
Когда ( x = 4 ): [ y = 1 - 4 = -3 ]
Когда ( x = -3 ): [ y = 1 - (-3) = 4 ]
Итак, решениями системы уравнений являются пары значений: [ (x, y) = (4, -3) ] и [ (x, y) = (-3, 4) ]
x = -2, y = 3
