Решите систему уравнений методом подстановки x^2+xy=6 x-y=4. Распишите плизз)

Для решения системы уравнений методом подстановки:

1. Запишем систему уравнений: [ \begin{cases} x^2 + xy = 6 \ x - y = 4 \end{cases} ]

2. Из второго уравнения выразим ( y ): [ y = x - 4 ]

3. Подставим выражение для ( y ) в первое уравнение: [ x^2 + x(x - 4) = 6 ] Упростим уравнение: [ x^2 + x^2 - 4x = 6 ] [ 2x^2 - 4x - 6 = 0 ]

4. Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: [ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

5. Найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = 1, b = -2, c = -3 ): [ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm 4}{2} ] Корни: [ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 ]

6. Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ):

   • Для ( x = 3 ): [ y = 3 - 4 = -1 ]
   • Для ( x = -1 ): [ y = -1 - 4 = -5 ]

7. Таким образом, решения системы: [ (x_1, y_1) = (3, -1) \quad \text{и} \quad (x_2, y_2) = (-1, -5) ]

Ответ: ( (3, -1) ) и ( (-1, -5) ).

Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, начнем с того, что у нас есть две уравнения:

1. ( x^2 + xy = 6 )
2. ( x - y = 4 )

Сначала выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Выразим ( y ):

[ y = x - 4 ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) в первое уравнение:

[ x^2 + x(x - 4) = 6 ]

Раскроем скобки:

[ x^2 + x^2 - 4x = 6 ]

Сложим подобные члены:

[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его коэффициенты на 2:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации. Мы ищем такие два числа, произведение которых равно -3, а сумма равна -2. Это числа -3 и 1. Таким образом, уравнение можно разложить:

[ (x - 3)(x + 1) = 0 ]

Теперь находим корни:

1. ( x - 3 = 0 ) ⟹ ( x = 3 )
2. ( x + 1 = 0 ) ⟹ ( x = -1 )

Теперь у нас есть два значения для ( x ). Найдем соответствующие значения ( y ).

Для ( x = 3 ):

[ y = 3 - 4 = -1 ]

Для ( x = -1 ):

[ y = -1 - 4 = -5 ]

Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:

1. ( (x, y) = (3, -1) )
2. ( (x, y) = (-1, -5) )

Теперь проверим каждую пару значений в исходных уравнениях, чтобы убедиться, что они являются решениями.

Проверка для ( (3, -1) ):

1. ( x^2 + xy = 6 ) ⟹ ( 3^2 + 3(-1) = 9 - 3 = 6 ) (выполняется)
2. ( x - y = 4 ) ⟹ ( 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 ) (выполняется)

Проверка для ( (-1, -5) ):

1. ( x^2 + xy = 6 ) ⟹ ( (-1)^2 + (-1)(-5) = 1 + 5 = 6 ) (выполняется)
2. ( x - y = 4 ) ⟹ ( -1 - (-5) = -1 + 5 = 4 ) (выполняется)

Обе пары значений удовлетворяют исходным уравнениям.

Таким образом, окончательный ответ:

[ (3, -1) \quad \text{и} \quad (-1, -5) ]

Решим систему уравнений методом подстановки. У нас есть следующая система:

1. ( x^2 + xy = 6 )
2. ( x - y = 4 )

Шаг 1. Выразим одну из переменных через другую из второго уравнения.

Из второго уравнения выразим ( y ):

[ x - y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = x - 4. ]

Шаг 2. Подставим выражение для ( y = x - 4 ) во второе уравнение.

Подставляем ( y = x - 4 ) в первое уравнение ( x^2 + xy = 6 ):

[ x^2 + x(x - 4) = 6. ]

Раскроем скобки:

[ x^2 + x^2 - 4x = 6. ]

Объединим подобные слагаемые:

[ 2x^2 - 4x = 6. ]

Шаг 3. Приведем уравнение к стандартному виду.

Переносим ( 6 ) в левую часть:

[ 2x^2 - 4x - 6 = 0. ]

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

[ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

Шаг 4. Решим квадратное уравнение.

Уравнение ( x^2 - 2x - 3 = 0 ) решаем через дискриминант. Напомним, общий вид квадратного уравнения:

[ ax^2 + bx + c = 0, ]

где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ). Формула для дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac. ]

Подставим значения:

[ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. ]

Корни находятся по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставляем ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( D = 16 ):

[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Найдем два корня:

[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. ]

Шаг 5. Найдем ( y ) для каждого значения ( x ).

Теперь подставим ( x_1 = 3 ) и ( x_2 = -1 ) в выражение для ( y ), которое мы получили на первом шаге: ( y = x - 4 ).

1. Если ( x_1 = 3 ), то ( y_1 = 3 - 4 = -1 ).
2. Если ( x_2 = -1 ), то ( y_2 = -1 - 4 = -5 ).

Ответ:

Система уравнений имеет два решения:

[ (x_1, y_1) = (3, -1), \quad (x_2, y_2) = (-1, -5). ]