решите систему уравнений способом сложения { xy+x=56, xy +y = 54}
решите систему уравнений способом сложения { xy+x=56, xy +y = 54}
Для решения системы уравнений способом сложения (методом алгебраического сложения), сначала выпишем уравнения:
Шаг 1: Вычтем второе уравнение из первого, чтобы устранить общий член ( xy ):
[ (xy + x) - (xy + y) = 56 - 54 ]
Это упрощается до:
[ x - y = 2 ]
Шаг 2: Теперь у нас есть линейное уравнение:
[ x - y = 2 ]
Шаг 3: Выразим ( x ) через ( y ):
[ x = y + 2 ]
Шаг 4: Подставим это выражение в одно из исходных уравнений. Подставим его во второе уравнение:
[ (y + 2)y + y = 54 ]
Шаг 5: Раскроем скобки и упростим:
[ y^2 + 2y + y = 54 ] [ y^2 + 3y = 54 ]
Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
[ y^2 + 3y - 54 = 0 ]
Шаг 7: Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Найдем дискриминант ( D ):
[ D = b^2 - 4ac ] [ D = 3^2 - 4 \cd. 1 \cd. (-54) ] [ D = 9 + 216 ] [ D = 225 ]
Шаг 8: Найдем корни уравнения:
[ y{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ y{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} ] [ y_{1,2} = \frac{-3 \pm 15}{2} ]
Получаем два корня:
[ y_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6 ] [ y_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9 ]
Шаг 9: Найдем соответствующие значения ( x ):
Для ( y_1 = 6 ):
[ x = y + 2 ] [ x = 6 + 2 ] [ x = 8 ]
Для ( y_2 = -9 ):
[ x = y + 2 ] [ x = -9 + 2 ] [ x = -7 ]
Таким образом, у нас два решения системы:
Шаг 10: Проверим оба решения в исходных уравнениях:
Для ( (8, 6) ):
[ xy + x = 8 \cd. 6 + 8 = 48 + 8 = 56 \quad \text{(выполняется)} ] [ xy + y = 8 \cd. 6 + 6 = 48 + 6 = 54 \quad \text{(выполняется)} ]
Для ( (-7, -9) ):
[ xy + x = (-7) \cd. (-9) + (-7) = 63 - 7 = 56 \quad \text{(выполняется)} ] [ xy + y = (-7) \cd. (-9) + (-9) = 63 - 9 = 54 \quad \text{(выполняется)} ]
Оба решения верны. Таким образом, система уравнений имеет два решения:
Для решения данной системы уравнений методом сложения сначала приведем уравнения к общему виду, чтобы у них были одинаковые коэффициенты при одной из переменных. Для этого вычитаем первое уравнение из второго:
(xy + y) - (xy + x) = 54 - 56 y - x = -2
Теперь полученное уравнение можно решить, выразив одну из переменных через другую. Допустим, выразим y через x:
y = x - 2
Подставляем это выражение в любое из исходных уравнений (например, в первое):
x(x - 2) + x = 56 x^2 - 2x + x = 56 x^2 - x = 56 x^2 - x - 56 = 0
Теперь найдем корни квадратного уравнения:
D = (-1)^2 - 41(-56) = 1 + 224 = 225 x1 = (1 + 15) / 2 = 8 x2 = (1 - 15) / 2 = -7
Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение y = x - 2:
При x = 8: y = 8 - 2 = 6 При x = -7: y = -7 - 2 = -9
Таким образом, система уравнений имеет два решения: (8, 6) и (-7, -9).
