Решите систему уравнений: { x^2+y^2=25 { x+y=7

Для решения данной системы уравнений из двух уравнений:

1. ( x^2 + y^2 = 25 )
2. ( x + y = 7 )

следуем следующим шагам:

Шаг 1: Выразите одно из переменных из второго уравнения.

Из второго уравнения выразим ( y ) через ( x ):

[ y = 7 - x ]

Шаг 2: Подставьте выражение для ( y ) в первое уравнение.

Теперь подставим ( y = 7 - x ) в первое уравнение:

[ x^2 + (7 - x)^2 = 25 ]

Шаг 3: Раскройте скобки и упростите уравнение.

Раскроем скобки:

[ x^2 + (7 - x)^2 = x^2 + (49 - 14x + x^2) = 25 ]

Теперь упростим:

[ 2x^2 - 14x + 49 = 25 ]

Шаг 4: Приведите уравнение к стандартному квадратному виду.

Преобразуем уравнение:

[ 2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0 ]

[ 2x^2 - 14x + 24 = 0 ]

Шаг 5: Разделите уравнение на 2 для упрощения.

[ x^2 - 7x + 12 = 0 ]

Шаг 6: Решите квадратное уравнение.

Используем дискриминант для решения:

[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} ]

Тогда:

[ x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 ]

Шаг 7: Найдите соответствующие значения ( y ) для каждого корня ( x ).

Для ( x = 4 ):

[ y = 7 - x = 7 - 4 = 3 ]

Для ( x = 3 ):

[ y = 7 - x = 7 - 3 = 4 ]

Ответ:

Система имеет два решения:

1. ( (x, y) = (4, 3) )
2. ( (x, y) = (3, 4) )

Таким образом, оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения x + y = 7 выразим одну из переменных, например, y = 7 - x. Подставим это выражение в первое уравнение:

x^2 + (7 - x)^2 = 25 x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 2x^2 - 14x + 24 = 0

Решим квадратное уравнение, чтобы найти значения x:

D = (-14)^2 - 4224 = 196 - 192 = 4 x1,2 = (14 ± √4) / 4 x1 = (14 + 2) / 4 = 4 x2 = (14 - 2) / 4 = 3

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение x + y = 7:

y1 = 7 - x1 = 7 - 4 = 3 y2 = 7 - x2 = 7 - 3 = 4

Итак, система уравнений имеет два решения: (4, 3) и (3, 4).