Решите систему уравнений: y-2x=6 x^2-xy+y^2=12

Чтобы решить данную систему уравнений, мы будем следовать нескольким шагам. Система состоит из двух уравнений:

1. ( y - 2x = 6 )
2. ( x^2 - xy + y^2 = 12 )

Начнем с первого уравнения. Из него мы можем выразить ( y ) через ( x ):

[ y = 2x + 6 ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12 ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. ( x^2 - 2x^2 - 6x + (4x^2 + 24x + 36) = 12 )

Теперь объединим подобные члены:

[ x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12 ]

[ (x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (-6x + 24x) + 36 = 12 ]

[ 3x^2 + 18x + 36 = 12 ]

Теперь упростим уравнение:

[ 3x^2 + 18x + 36 - 12 = 0 ]

[ 3x^2 + 18x + 24 = 0 ]

Разделим всё уравнение на 3, чтобы упростить его:

[ x^2 + 6x + 8 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} ]

[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого из значений ( x ):

1. Если ( x = -2 ):

[ y = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2 ]

Таким образом, одна из пар решений ((-2, 2)).

1. Если ( x = -4 ):

[ y = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2 ]

Таким образом, другая пара решений ((-4, -2)).

Итак, система уравнений имеет два решения: ((-2, 2)) и ((-4, -2)).

x = 2, y = 10

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Начнем с уравнения y - 2x = 6. Выразим из него y через x: y = 2x + 6.

Подставим это выражение для y во второе уравнение: x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12 x^2 + 18x + 36 = 12 x^2 + 18x + 24 = 0

Далее решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 18^2 - 4124 = 324 - 96 = 228

x1,2 = (-18 ± √228) / 2 x1 ≈ -1.1716 x2 ≈ -16.8284

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение y = 2x + 6:

При x ≈ -1.1716: y ≈ 2(-1.1716) + 6 ≈ 3.6568 При x ≈ -16.8284: y ≈ 2(-16.8284) + 6 ≈ -27.6568

Таким образом, система уравнений имеет два решения: x ≈ -1.1716, y ≈ 3.6568 x ≈ -16.8284, y ≈ -27.6568.