Решите систему уравнений:x+y=1x^2+y^2=25

x = 2, y = -1

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения и вычитания уравнений.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения выразим одну из переменных через другую: x = 1 - y Подставляем это значение во второе уравнение: (1 - y)^2 + y^2 = 25 Раскрываем скобки: 1 - 2y + y^2 + y^2 = 25 Собираем все члены в одну сторону: 2y^2 - 2y - 24 = 0 Делим обе стороны на 2: y^2 - y - 12 = 0 Факторизуем: (y - 4)(y + 3) = 0 Отсюда получаем два возможных значения y: y = 4 и y = -3

Подставляем найденные значения y обратно в уравнение x = 1 - y: Для y = 4: x = 1 - 4 = -3 Для y = -3: x = 1 - (-3) = 4

Таким образом, получаем два решения системы уравнений: x = 4, y = -3 x = -3, y = 4

1. Метод сложения и вычитания уравнений: Сложим оба уравнения: x + y + x^2 + y^2 = 26 Подставим x + y = 1: 1 + x^2 + y^2 = 26 x^2 + y^2 = 25 (из условия) Таким образом, уравнение также выполняется.

Поэтому решения системы уравнений: x = 4, y = -3 и x = -3, y = 4.

Для решения данной системы уравнений начнем с первого уравнения:

1) ( x + y = 1 )

Из этого уравнения выразим ( y ):

[ y = 1 - x ]

Теперь подставим выражение для ( y ) во второе уравнение системы:

2) ( x^2 + y^2 = 25 )

[ x^2 + (1 - x)^2 = 25 ]

Раскроем скобки во втором слагаемом:

[ x^2 + (1 - 2x + x^2) = 25 ]

[ x^2 + 1 - 2x + x^2 = 25 ]

[ 2x^2 - 2x + 1 = 25 ]

Упростим уравнение, перенеся все на одну сторону:

[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 ]

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

[ x^2 - x - 12 = 0 ]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Для уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), дискриминант ( D ) вычисляется:

[ D = b^2 - 4ac ]

Подставим значения:

[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 ]

Так как ( D > 0 ), уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{1 \pm 7}{2} ]

[ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

Для ( x_1 = 4 ): [ y_1 = 1 - 4 = -3 ]

Для ( x_2 = -3 ): [ y_2 = 1 - (-3) = 4 ]

Итак, решениями системы уравнений являются пары: [ (x_1, y_1) = (4, -3) ] [ (x_2, y_2) = (-3, 4) ]