Решите систему x²+y²=20 xy=8
Решите систему x²+y²=20 xy=8
x = 2, y = 4
Для решения системы уравнений:
можно использовать подход через выражение (x^2 + y^2) через (xy). Известно, что (x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy). Подставим известные значения:
[ (x + y)^2 - 2 \cdot 8 = 20 \implies (x + y)^2 = 36 \implies x + y = \pm 6. ]
Таким образом, получаем два случая:
Для каждого из случаев можно решить систему уравнений, включающую (x + y) и (xy). Рассмотрим первый случай:
Случай 1: (x + y = 6) и (xy = 8).
Используем формулы для корней квадратного уравнения. Положим (x) и (y) как корни квадратного уравнения (t^2 - (x+y)t + xy = 0). Тогда:
[ t^2 - 6t + 8 = 0. ]
Решим это уравнение:
[ t^2 - 6t + 8 = 0 \implies (t-4)(t-2) = 0 \implies t=4 \text{ или } t=2. ]
Следовательно, (x) и (y) равны 4 и 2 (или наоборот). Таким образом, одно из решений: (x = 4, y = 2) или (x = 2, y = 4).
Случай 2: (x + y = -6) и (xy = 8).
Аналогично, рассматриваем квадратное уравнение:
[ t^2 + 6t + 8 = 0. ]
Решим это уравнение:
[ t^2 + 6t + 8 = 0 \implies (t+4)(t+2) = 0 \implies t=-4 \text{ или } t=-2. ]
Здесь (x) и (y) равны -4 и -2 (или наоборот). Таким образом, другое решение: (x = -4, y = -2) или (x = -2, y = -4).
Итог: Система уравнений имеет четыре решения:
Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Из уравнения xy=8 можно выразить одну из переменных, например, y=8/x. Подставим это выражение в первое уравнение: x² + (8/x)² = 20 x² + 64/x² = 20 Умножим обе части на x²: x^4 + 64 = 20x² Получим квадратное уравнение: x^4 - 20x² + 64 = 0 Обозначим x² = t, тогда уравнение примет вид: t^2 - 20t + 64 = 0 Решим это квадратное уравнение и найдем значения t. Подставим найденные значения t обратно в уравнение x² = t и найдем значения x. После этого найдем соответствующие значения y, используя уравнение y=8/x.
Таким образом, решив квадратное уравнение и проведя необходимые подстановки, мы найдем значения переменных x и y, удовлетворяющие данной системе уравнений.
