Решите уравнение 16/x^2-16+x/x+4=2/x-4

Давайте решим уравнение:

[ \frac{16}{x^2 - 16} + \frac{x}{x + 4} = \frac{2}{x - 4} ]

Прежде всего, упростим выражение:

[ \frac{16}{x^2 - 16} ] можно переписать как [ \frac{16}{(x-4)(x+4)} ]

Теперь у нас есть:

[ \frac{16}{(x-4)(x+4)} + \frac{x}{x + 4} = \frac{2}{x - 4} ]

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на общий знаменатель ((x-4)(x+4)):

[ 16 + x(x - 4) = 2(x + 4) ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ 16 + x^2 - 4x = 2x + 8 ]

Перенесем все члены на одну сторону:

[ x^2 - 4x - 2x + 8 - 16 = 0 ]

[ x^2 - 6x - 8 = 0 ]

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Дискриминант (D) квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) вычисляется по формуле (D = b^2 - 4ac). В нашем случае:

[ a = 1, \, b = -6, \, c = -8 ]

[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17} ]

Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = 3 + \sqrt{17}, ] [ x_2 = 3 - \sqrt{17}. ]

Это и есть решение данного уравнения.

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю. У нас есть следующее уравнение:

(16 / x^2) - 16 + (x / x + 4) = 2 / x - 4.

Приведем слагаемые к общему знаменателю. У нас есть x^2 = x x, поэтому общим знаменателем будет x^2 (x + 4), получаем:

16 (x + 4) / x^2 (x + 4) - 16 x^2 (x + 4) / x^2 (x + 4) + x^3 / x^2 (x + 4) = 2 x^2 / x^2 (x + 4) - 8 (x + 4) / x^2 (x + 4).

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

16(x + 4) - 16x^2(x + 4) + x^3 = 2x^2 - 8(x + 4).

Раскрываем скобки:

16x + 64 - 16x^3 - 64x^2 + x^3 = 2x^2 - 8x - 32.

Приводим подобные слагаемые:

-x^3 - 64x^2 + 16x + 64 = 2x^2 - 8x - 32.

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

-x^3 - 66x^2 + 24x + 96 = 0.

Теперь у нас есть кубическое уравнение, которое мы можем решить с помощью стандартных методов решения кубических уравнений. Следует использовать методы факторизации, применить формулы Виета или использовать численные методы, такие как метод Ньютона.