Решите уравнение: 17/(x-3) (x+4) - 1/(x-3)= x/(x+4)

Конечно, давайте внимательно и подробно разберем решение уравнения:

[ \frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}. ]

Шаг 1: Приведение всех дробей к общему знаменателю

Общий знаменатель для всех дробей — это ((x-3)(x+4)), так как это произведение знаменателей всех дробей. Приведём каждую дробь к общему знаменателю.

1. Первая дробь уже имеет общий знаменатель: [ \frac{17}{(x-3)(x+4)}. ]

2. Вторая дробь (\frac{1}{x-3}). Чтобы привести её к общему знаменателю ((x-3)(x+4)), домножим числитель и знаменатель на (x+4): [ \frac{1}{x-3} = \frac{x+4}{(x-3)(x+4)}. ]

3. Третья дробь (\frac{x}{x+4}). Чтобы привести её к общему знаменателю ((x-3)(x+4)), домножим числитель и знаменатель на (x-3): [ \frac{x}{x+4} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}. ]

Теперь уравнение выглядит так: [ \frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{x+4}{(x-3)(x+4)} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}. ]

Шаг 2: Объединение дробей

Так как знаменатели у всех дробей теперь одинаковые, то можно объединить их, записав всё в одну дробь (слева и справа):

[ \frac{17 - (x+4)}{(x-3)(x+4)} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}. ]

Упростим числитель слева: [ 17 - (x+4) = 17 - x - 4 = 13 - x. ]

Таким образом, уравнение становится: [ \frac{13 - x}{(x-3)(x+4)} = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)}. ]

Шаг 3: Устранение знаменателей

Поскольку знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители (при условии, что знаменатель ((x-3)(x+4) \neq 0), то есть (x \neq 3) и (x \neq -4)):

[ 13 - x = x(x-3). ]

Шаг 4: Раскрытие скобок и приведение к стандартному виду

Раскроем скобки справа: [ 13 - x = x^2 - 3x. ]

Перенесём всё в одну сторону уравнения: [ 0 = x^2 - 3x + x - 13 = x^2 - 2x - 13. ]

Теперь мы получили квадратное уравнение: [ x^2 - 2x - 13 = 0. ]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Напомним, общий вид квадратного уравнения: [ ax^2 + bx + c = 0, ] где (a = 1), (b = -2), (c = -13).

Формула для дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac. ]

Подставим значения: [ D = (-2)^2 - 4(1)(-13) = 4 + 52 = 56. ]

Дискриминант (D = 56 > 0), значит, уравнение имеет два действительных корня. Формула для корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения (a = 1), (b = -2), (D = 56): [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2}. ]

Упростим: [ x = \frac{2}{2} \pm \frac{\sqrt{56}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{56}}{2}. ]

Заметим, что (\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}), поэтому: [ x = 1 \pm \frac{2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}. ]

Шаг 6: Проверка условий

Корни уравнения: [ x_1 = 1 + \sqrt{14}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{14}. ]

Проверим, не равны ли корни запрещённым значениям (x = 3) или (x = -4). Так как (\sqrt{14} \approx 3.74), то: [ x_1 = 1 + \sqrt{14} \approx 1 + 3.74 = 4.74 \quad (\text{не равно 3, не равно -4}), ] [ x_2 = 1 - \sqrt{14} \approx 1 - 3.74 = -2.74 \quad (\text{не равно 3, не равно -4}). ]

Оба корня допустимы.

Ответ:

Корни уравнения: [ x = 1 + \sqrt{14}, \quad x = 1 - \sqrt{14}. ]

Для решения уравнения

[ \frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{(x-3)} = \frac{x}{(x+4)}, ]

начнем с приведения левой части уравнения к общему знаменателю. Общим знаменателем для первых двух дробей будет ((x-3)(x+4)). Приведем вторую дробь к этому знаменателю:

[ \frac{1}{(x-3)} = \frac{1 \cdot (x+4)}{(x-3)(x+4)} = \frac{x+4}{(x-3)(x+4)}. ]

Теперь можем переписать уравнение:

[ \frac{17 - (x + 4)}{(x-3)(x+4)} = \frac{x}{(x+4)}. ]

Упростим левую часть:

[ 17 - (x + 4) = 17 - x - 4 = 13 - x. ]

Таким образом, уравнение становится:

[ \frac{13 - x}{(x-3)(x+4)} = \frac{x}{(x+4)}. ]

Теперь умножим обе стороны на ((x-3)(x+4)) (при условии, что (x \neq 3) и (x \neq -4), чтобы избежать деления на ноль):

[ 13 - x = x(x - 3). ]

Раскроем правую часть:

[ 13 - x = x^2 - 3x. ]

Переносим все члены в одну сторону:

[ 0 = x^2 - 3x + x - 13, ]

что упрощается до:

[ 0 = x^2 - 2x - 13. ]

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где (a = 1), (b = -2), (c = -13).

Подставим значения:

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 52}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}. ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x_1 = 1 + \sqrt{14}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{14}. ]

Проверим, что оба корня не равны 3 и -4:

1. (1 + \sqrt{14} \approx 1 + 3.74 \approx 4.74 \neq 3) и (4.74 \neq -4).
2. (1 - \sqrt{14} \approx 1 - 3.74 \approx -2.74 \neq 3) и (-2.74 \neq -4).

Таким образом, оба корня допустимы.

Ответ:

[ x = 1 + \sqrt{14} \quad \text{и} \quad x = 1 - \sqrt{14}. ]