Решите уравнение 2^х-3=3^3-х

Для решения уравнения 2^x-3=3^3-x необходимо привести выражения к общему основанию, раскрыть скобки и решить полученное уравнение.

Для того чтобы решить уравнение (2^x - 3 = 3^{3-x}), мы должны привести его к более простому виду. Сначала перепишем уравнение в виде (2^x - 3 = \frac{3^3}{3^x}). Затем заметим, что (3^3 = 27), тогда уравнение примет вид (2^x - 3 = \frac{27}{3^x}). Далее можно упростить уравнение, заметив, что (2^x = 2 \cdot 2^{x-1}) и (\frac{27}{3^x} = \frac{27}{3 \cdot 3^{x-1}}). Теперь подставим это в исходное уравнение: (2 \cdot 2^{x-1} - 3 = \frac{27}{3 \cdot 3^{x-1}}). Упростим дальше: (2^x - 3 = 9 \cdot 3^{-x+1}). И наконец, приведем уравнение к виду (2^x - 9 \cdot 3^{-x} = 3). Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить численно, используя методы решения уравнений.

Конечно, давайте рассмотрим уравнение ( 2^x - 3 = 3^{3 - x} ) и решим его пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобном виде:

[ 2^x - 3 = 27 \cdot 3^{-x} ]

1. Перенесем все на одну сторону уравнения:

[ 2^x - 27 \cdot 3^{-x} - 3 = 0 ]

1. Теперь сделаем замену переменной для удобства. Пусть ( y = 2^x ) и ( z = 3^{-x} ). Тогда ( z = \frac{1}{3^x} ) и получаем:

[ y - 27z - 3 = 0 ]

1. Из замены ( y = 2^x ) и ( z = \frac{1}{3^x} ) следует, что ( y \cdot z = \frac{2^x}{3^x} = \left( \frac{2}{3} \right)^x ). Обозначим это выражение через новую переменную ( t = \left( \frac{2}{3} \right)^x ).

2. Теперь уравнение примет вид:

[ y = 2^x = t \cdot 3^x ]

1. Подставим это в исходное уравнение:

[ t \cdot 3^x - 27 \cdot \frac{1}{3^x} - 3 = 0 ]

1. Для упрощения заменим ( 3^x = a ), тогда ( t = \left( \frac{2}{3} \right)^x ) и уравнение будет:

[ t \cdot a - \frac{27}{a} - 3 = 0 ]

1. Так как ( t = \left( \frac{2}{3} \right)^x ) и ( a = 3^x ), то ( t \cdot a = \left( \frac{2}{3} \right)^x \cdot 3^x = 2^x ), уравнение примет вид:

[ 2^x - 3^x \cdot 27 \cdot 3^{-x} - 3 = 0 ]

[ 2^x - 27 - 3 = 0 ]

[ 2^x = 30 ]

1. Теперь решим уравнение ( 2^x = 30 ):

[ x = \log_2 30 ]

1. Используя свойства логарифмов, можем более точно определить значение ( x ):

[ x = \frac{\log{10} 30}{\log{10} 2} ]

На этом шаге можно воспользоваться калькулятором для нахождения точного значения логарифмов:

[ \log{10} 30 \approx 1.4771 ] [ \log{10} 2 \approx 0.3010 ]

Таким образом:

[ x \approx \frac{1.4771}{0.3010} \approx 4.906 ]

Ответ: ( x \approx 4.906 ).

Таким образом, решение уравнения ( 2^x - 3 = 3^{3 - x} ) приводит нас к значению ( x \approx 4.906 ).