Решите уравнение 4 sin(x-5п/2)=-1/cosx И найдите корни [-5п; -7п/2]

Рассмотрим уравнение ( 4 \sin \left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\cos x} ).

1. Приведение аргумента к стандартной форме: Сначала упростим аргумент синуса. Воспользуемся тем, что ( \sin \left( x - \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( x - 2\pi - \frac{\pi}{2} \right) ). Поскольку синус имеет период ( 2\pi ), можем исключить ( 2\pi ): [ \sin \left( x - \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right). ]

2. Используем формулу синуса: Теперь наше уравнение принимает вид: [ 4 \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{\cos x}. ]

3. Используем свойства тригонометрических функций: Известно, что ( \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos x ). Подставим это в уравнение: [ 4 (-\cos x) = -\frac{1}{\cos x}, ] что эквивалентно: [ -4 \cos x = -\frac{1}{\cos x}. ]

4. Избавляемся от знаков минус: Умножим обе части уравнения на (-1): [ 4 \cos x = \frac{1}{\cos x}. ]

5. Умножим обе части на (\cos x): [ 4 \cos^2 x = 1. ]

6. Решаем квадратное уравнение: [ \cos^2 x = \frac{1}{4}. ] Следовательно, [ \cos x = \pm \frac{1}{2}. ]

7. Находим значения ( x ): Для ( \cos x = \frac{1}{2} ), ( x ) может принимать значения: [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

   Для ( \cos x = -\frac{1}{2} ), ( x ) может принимать значения: [ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

8. Учитываем заданный диапазон ([-5\pi, -\frac{7\pi}{2}]): Проверим, какие значения ( x ) удовлетворяют данному интервалу.

   Для ( \cos x = \frac{1}{2} ): [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi. ] Найдем ( x ) в пределах ([-5\pi, -\frac{7\pi}{2}]):

   • Для ( k = -3 ) (приблизительно): [ x = \frac{\pi}{3} - 6\pi = -\frac{17\pi}{3} \quad (\text{не попадает в диапазон}), ] [ x = -\frac{\pi}{3} - 6\pi = -\frac{19\pi}{3} \quad (\text{не попадает в диапазон}). ]

   Для ( \cos x = -\frac{1}{2} ): [ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi. ] Найдем ( x ) в пределах ([-5\pi, -\frac{7\pi}{2}]):

   • Для ( k = -3 ) (приблизительно): [ x = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} \quad (\text{не попадает в диапазон}), ] [ x = -\frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{20\pi}{3} \quad (\text{не попадает в диапазон}). ]

Таким образом, в заданном диапазоне ([-5\pi, -\frac{7\pi}{2}]) решений уравнения нет.

x = -5π/2, -3π/2

Для начала решим уравнение 4sin(x-5π/2)=-1/cosx, приведя его к более удобному виду.

Умножим обе части уравнения на cosx, чтобы избавиться от знаменателя: 4sin(x-5π/2)cosx = -1

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности: 4[sinxcos(5π/2) - cosxsin(5π/2)] = -1 4[sinx(-1) - cosx0] = -1 -4sinx = -1 sinx = 1/4

Теперь найдем все значения x из отрезка [-5π; -7π/2], для которых sinx = 1/4. Так как sinx = 1/4 для x = π/6, то уравнение имеет один корень на отрезке [-5π; -7π/2], который равен x = π/6.