Решите уравнение: 4 sin$x-7pi/2$=3/cosx Укажите корни, принадлежащие отрезку $-13pi/2;-5pi$

x = -12pi, -6pi

Чтобы решить уравнение $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{3}{\cos x}), сначала упростим его.

1. Перепишем уравнение:

   $4\sin (x-\frac{7\pi }{2})\cos x=3$

   Это уравнение можно выразить через тождество:

   $2\sin (x-\frac{7\pi }{2})\cos x=\frac{3}{2}$

2. Используем тождество для произведения синуса и косинуса:

   $\sin (x-\frac{7\pi }{2})\cos x=\frac{1}{2}[\sin (x+(x-\frac{7\pi }{2}))+\sin (x-(x-\frac{7\pi }{2}))$ ]

   Упростим выражения в синусах:

   $\sin (2x-\frac{7\pi }{2})+\sin \left(\frac{7\pi }{2}\right)$

   Поскольку $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = 1), уравнение принимает вид:

   $2\sin (x-\frac{7\pi }{2})\cos x=\sin (2x-\frac{7\pi }{2})+1=\frac{3}{2}$

   $\sin (2x-\frac{7\pi }{2})=\frac{1}{2}$

3. Решим уравнение $\sin (2x-\frac{7\pi }{2}$ = \frac{1}{2}):

   Основное решение для $\sin \theta =\frac{1}{2}$ это $\theta =\frac{\pi }{6}+2k\pi$ или $\theta =\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, где $k\in \mathbb{Z}$.

   Для нашего случая:

   $2x-\frac{7\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{или}2x-\frac{7\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

4. Решим для $x$:

   $2x=\frac{\pi }{6}+\frac{7\pi }{2}+2k\pi =\frac{\pi }{6}+\frac{21\pi }{6}+2k\pi =\frac{22\pi }{6}+2k\pi =\frac{11\pi }{3}+2k\pi$

   $x=\frac{11\pi }{6}+k\pi$

   $2x=\frac{5\pi }{6}+\frac{7\pi }{2}+2k\pi =\frac{5\pi }{6}+\frac{21\pi }{6}+2k\pi =\frac{26\pi }{6}+2k\pi =\frac{13\pi }{3}+2k\pi$

   $x=\frac{13\pi }{6}+k\pi$

5. Найдем корни на отрезке $[-13\pi /2;-5\pi ]$:

   Для $x=\frac{11\pi }{6}+k\pi$:

   $-\frac{13\pi }{2}\le \frac{11\pi }{6}+k\pi \le -5\pi$

   Решим неравенства:

   $-\frac{13\pi }{2}\le \frac{11\pi }{6}+k\pi ⟹k\ge -\frac{13\pi /2-11\pi /6}{\pi }\approx -4$

   $\frac{11\pi }{6}+k\pi \le -5\pi ⟹k\le -\frac{11\pi /6+5\pi }{\pi }\approx -5$

   Возможные значения $k$: $k=-4,-5$.

   Для $x=\frac{13\pi }{6}+k\pi$:

   $-\frac{13\pi }{2}\le \frac{13\pi }{6}+k\pi \le -5\pi$

   Решим неравенства:

   $-\frac{13\pi }{2}\le \frac{13\pi }{6}+k\pi ⟹k\ge -\frac{13\pi /2-13\pi /6}{\pi }\approx -4$

   $\frac{13\pi }{6}+k\pi \le -5\pi ⟹k\le -\frac{13\pi /6+5\pi }{\pi }\approx -5$

   Возможные значения $k$: $k=-4,-5$.

6. Корни на отрезке:

   1. Для $x=\frac{11\pi }{6}+k\pi$ и $k=-4,-5$:

      • $k=-4$: $x=\frac{11\pi }{6}-4\pi =\frac{11\pi }{6}-\frac{24\pi }{6}=-\frac{13\pi }{6}$
      • $k=-5$: $x=\frac{11\pi }{6}-5\pi =\frac{11\pi }{6}-\frac{30\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$

   2. Для $x=\frac{13\pi }{6}+k\pi$ и $k=-4,-5$:

      • $k=-4$: $x=\frac{13\pi }{6}-4\pi =\frac{13\pi }{6}-\frac{24\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$
      • $k=-5$: $x=\frac{13\pi }{6}-5\pi =\frac{13\pi }{6}-\frac{30\pi }{6}=-\frac{17\pi }{6}$

Итак, корни уравнения на отрезке $[-13\pi /2;-5\pi ]$ следующие:

• $-\frac{13\pi }{6}$
• $-\frac{19\pi }{6}$
• $-\frac{11\pi }{6}$
• $-\frac{17\pi }{6}$

Для начала преобразуем уравнение: 4 sin$x-7pi/2$ = 3/cosx 4 sin$x$cos$7pi/2$ - 4 cos$x$sin$7pi/2$ = 3/cosx -4 cos$x$ = 3/cosx -4 cos^2$x$ = 3 cos^2$x$ = -3/4

Так как квадрат косинуса не может быть отрицательным значением, у данного уравнения нет решений.

На отрезке $-13pi/2;-5pi$ нет корней уравнения 4 sin$x-7pi/2$ = 3/cosx.