Решите уравнение: 4 sin(x-7pi/2)=3/cosx Укажите корни, принадлежащие отрезку [-13pi/2;-5pi]

x = -12pi, -6pi

Чтобы решить уравнение (4 \sin\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = \frac{3}{\cos x}), сначала упростим его.

1. Перепишем уравнение:

   [ 4 \sin\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) \cos x = 3 ]

   Это уравнение можно выразить через тождество:

   [ 2 \sin\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) \cos x = \frac{3}{2} ]

2. Используем тождество для произведения синуса и косинуса:

   [ \sin\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) \cos x = \frac{1}{2} [\sin(x + (x - \frac{7\pi}{2})) + \sin(x - (x - \frac{7\pi}{2}))] ]

   Упростим выражения в синусах:

   [ \sin(2x - \frac{7\pi}{2}) + \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) ]

   Поскольку (\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = 1), уравнение принимает вид:

   [ 2 \sin\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) \cos x = \sin(2x - \frac{7\pi}{2}) + 1 = \frac{3}{2} ]

   [ \sin(2x - \frac{7\pi}{2}) = \frac{1}{2} ]

3. Решим уравнение (\sin(2x - \frac{7\pi}{2}) = \frac{1}{2}):

   Основное решение для (\sin \theta = \frac{1}{2}) это (\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi) или (\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k \in \mathbb{Z}).

   Для нашего случая:

   [ 2x - \frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x - \frac{7\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

4. Решим для (x):

   [ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{21\pi}{6} + 2k\pi = \frac{22\pi}{6} + 2k\pi = \frac{11\pi}{3} + 2k\pi ]

   [ x = \frac{11\pi}{6} + k\pi ]

   [ 2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{7\pi}{2} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{21\pi}{6} + 2k\pi = \frac{26\pi}{6} + 2k\pi = \frac{13\pi}{3} + 2k\pi ]

   [ x = \frac{13\pi}{6} + k\pi ]

5. Найдем корни на отрезке ([-13\pi/2; -5\pi]):

   Для (x = \frac{11\pi}{6} + k\pi):

   [ -\frac{13\pi}{2} \leq \frac{11\pi}{6} + k\pi \leq -5\pi ]

   Решим неравенства:

   [ -\frac{13\pi}{2} \leq \frac{11\pi}{6} + k\pi \implies k \geq -\frac{13\pi/2 - 11\pi/6}{\pi} \approx -4 ]

   [ \frac{11\pi}{6} + k\pi \leq -5\pi \implies k \leq -\frac{11\pi/6 + 5\pi}{\pi} \approx -5 ]

   Возможные значения (k): (k = -4, -5).

   Для (x = \frac{13\pi}{6} + k\pi):

   [ -\frac{13\pi}{2} \leq \frac{13\pi}{6} + k\pi \leq -5\pi ]

   Решим неравенства:

   [ -\frac{13\pi}{2} \leq \frac{13\pi}{6} + k\pi \implies k \geq -\frac{13\pi/2 - 13\pi/6}{\pi} \approx -4 ]

   [ \frac{13\pi}{6} + k\pi \leq -5\pi \implies k \leq -\frac{13\pi/6 + 5\pi}{\pi} \approx -5 ]

   Возможные значения (k): (k = -4, -5).

6. Корни на отрезке:

   1. Для (x = \frac{11\pi}{6} + k\pi) и (k = -4, -5):

      • (k = -4): (x = \frac{11\pi}{6} - 4\pi = \frac{11\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6})
      • (k = -5): (x = \frac{11\pi}{6} - 5\pi = \frac{11\pi}{6} - \frac{30\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6})

   2. Для (x = \frac{13\pi}{6} + k\pi) и (k = -4, -5):

      • (k = -4): (x = \frac{13\pi}{6} - 4\pi = \frac{13\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6})
      • (k = -5): (x = \frac{13\pi}{6} - 5\pi = \frac{13\pi}{6} - \frac{30\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6})

Итак, корни уравнения на отрезке ([-13\pi/2; -5\pi]) следующие:

• (-\frac{13\pi}{6})
• (-\frac{19\pi}{6})
• (-\frac{11\pi}{6})
• (-\frac{17\pi}{6})

Для начала преобразуем уравнение: 4 sin(x-7pi/2) = 3/cosx 4 sin(x)cos(7pi/2) - 4 cos(x)sin(7pi/2) = 3/cosx -4 cos(x) = 3/cosx -4 cos^2(x) = 3 cos^2(x) = -3/4

Так как квадрат косинуса не может быть отрицательным значением, у данного уравнения нет решений.

На отрезке [-13pi/2; -5pi] нет корней уравнения 4 sin(x-7pi/2) = 3/cosx.