Решите уравнение 4/х-1 - 4/х+1=1

Решим уравнение

[ \frac{4}{x-1} - \frac{4}{x+1} = 1 ]

Первым шагом найдём общий знаменатель для дробей в левой части уравнения. Общий знаменатель для (x-1) и (x+1) будет ((x-1)(x+1)).

Перепишем уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

[ \frac{4(x+1) - 4(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 1 ]

Распределим множители в числителе:

[ \frac{4x + 4 - 4x + 4}{(x-1)(x+1)} = 1 ]

Упростим числитель:

[ \frac{8}{(x-1)(x+1)} = 1 ]

Умножим обе части уравнения на ((x-1)(x+1)), чтобы избавиться от знаменателя:

[ 8 = (x-1)(x+1) ]

Раскроем скобки в правой части уравнения:

[ 8 = x^2 - 1 ]

Перенесём все члены в одну часть уравнения:

[ x^2 - 1 - 8 = 0 ]

Упростим:

[ x^2 - 9 = 0 ]

Это уравнение можно разложить на множители:

[ (x-3)(x+3) = 0 ]

Приравняем каждый множитель к нулю и найдём корни:

1. (x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3)
2. (x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3)

Получаем два решения: (x = 3) и (x = -3).

Чтобы убедиться, что оба решения допустимы, проверим их подстановкой в исходное уравнение:

1. Для (x = 3):

[ \frac{4}{3-1} - \frac{4}{3+1} = \frac{4}{2} - \frac{4}{4} = 2 - 1 = 1 ]

1. Для (x = -3):

[ \frac{4}{-3-1} - \frac{4}{-3+1} = \frac{4}{-4} - \frac{4}{-2} = -1 + 2 = 1 ]

Оба решения удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, ответ: (x = 3) и (x = -3).

x = 2, -2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на (x+1)/(x+1), а второе - на (x-1)/(x-1):

4/(x-1) - 4/(x+1) = 1 (4(x+1) - 4(x-1))/(x^2-1) = 1 (4x + 4 - 4x + 4)/(x^2-1) = 1 8/(x^2-1) = 1

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на x^2 - 1:

8 = x^2 - 1 x^2 = 9 x = ±3

Таким образом, уравнение 4/(x-1) - 4/(x+1) = 1 имеет два корня: x = 3 и x = -3.