Решите уравнение 5sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=1

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Для начала заметим, что у нас есть квадраты синуса и косинуса, что намекает на необходимость использования тождества ( \sin^2x + \cos^2x = 1 ). Также, мы можем воспользоваться тождествами для произведения синуса и косинуса - ( 2\sin x \cos x = \sin 2x ).

Теперь подставим это в уравнение: [ 5\sin^2x + 2\sin x \cos x - \cos^2x = 1 ] [ 5\sin^2x + \sin 2x - (1 - \sin^2x) = 1 ] [ 6\sin^2x + \sin 2x - 1 = 1 ] [ 6\sin^2x + \sin 2x - 2 = 0 ]

Теперь представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно (\sin x): [ 6t^2 + 2t - 2 = 0 ]

Решив это уравнение, мы найдем значения (\sin x). Далее, используя найденные значения, можно найти значения для (x).

Для решения уравнения ( 5 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 1 ), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

1. Применим основные тригонометрические тождества: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ] Это тождество позволяет выразить (\cos^2 x) через (\sin^2 x): [ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ]

2. Подставим это выражение в исходное уравнение: [ 5 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - (1 - \sin^2 x) = 1 ]

3. Упростим выражение: [ 5 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 1 ] [ 6 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 1 = 1 ]

4. Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения: [ 6 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 2 = 0 ]

5. Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: [ 3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 1 = 0 ]

6. Заметим, что (\sin x \cos x) можно выразить через (\sin 2x): [ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x ]

7. Подставим это в уравнение: [ 3 \sin^2 x + \frac{1}{2} \sin 2x - 1 = 0 ]

8. Используем тождество для (\sin^2 x): [ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} ]

9. Подставим это выражение в уравнение: [ 3 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) + \frac{1}{2} \sin 2x - 1 = 0 ] [ \frac{3(1 - \cos 2x)}{2} + \frac{1}{2} \sin 2x - 1 = 0 ]

10. Упростим выражение: [ \frac{3 - 3 \cos 2x + \sin 2x}{2} - 1 = 0 ] [ 3 - 3 \cos 2x + \sin 2x - 2 = 0 ] [ 1 - 3 \cos 2x + \sin 2x = 0 ]

11. Переставим слагаемые: [ \sin 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 ]

12. Решим полученное уравнение: [ \sin 2x - 3 \cos 2x = -1 ]

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом вспомогательного угла. Представим выражение в виде: [ R \sin (2x + \alpha) = -1 ] где ( R = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ) и (\alpha) такой, что (\cos \alpha = -3/\sqrt{10}) и (\sin \alpha = 1/\sqrt{10}).

1. Таким образом, уравнение принимает вид: [ \sqrt{10} \sin (2x + \alpha) = -1 ] [ \sin (2x + \alpha) = -\frac{1}{\sqrt{10}} ]

2. Решаем уравнение для ( \sin (2x + \alpha) = -\frac{1}{\sqrt{10}} ): [ 2x + \alpha = \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2\pi k ] или [ 2x + \alpha = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2\pi k ]

3. Из этих выражений находим (x): [ x = \frac{\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) - \alpha + 2\pi k}{2} ] или [ x = \frac{\pi - \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) - \alpha + 2\pi k}{2} ]

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению корней тригонометрического уравнения с учетом периодичности функции.