Решите уравнение 5sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=1

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
уравнение тригонометрия синус косинус решение математический анализ алгебра преобразования функция идентичность
0

Решите уравнение 5sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=1

avatar
задан 7 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Для начала заметим, что у нас есть квадраты синуса и косинуса, что намекает на необходимость использования тождества sin2x+cos2x=1. Также, мы можем воспользоваться тождествами для произведения синуса и косинуса - 2sinxcosx=sin2x.

Теперь подставим это в уравнение: 5sin2x+2sinxcosxcos2x=1 5sin2x+sin2x(1sin2x)=1 6sin2x+sin2x1=1 6sin2x+sin2x2=0

Теперь представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно sinx: 6t2+2t2=0

Решив это уравнение, мы найдем значения sinx. Далее, используя найденные значения, можно найти значения для x.

avatar
ответил 7 месяцев назад
0

Для решения уравнения 5sin2x+2sinxcosxcos2x=1, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

  1. Применим основные тригонометрические тождества: sin2x+cos2x=1 Это тождество позволяет выразить cos2x через sin2x: cos2x=1sin2x

  2. Подставим это выражение в исходное уравнение: 5sin2x+2sinxcosx(1sin2x)=1

  3. Упростим выражение: 5sin2x+2sinxcosx1+sin2x=1 6sin2x+2sinxcosx1=1

  4. Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения: 6sin2x+2sinxcosx2=0

  5. Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: 3sin2x+sinxcosx1=0

  6. Заметим, что sinxcosx можно выразить через sin2x: sinxcosx=12sin2x

  7. Подставим это в уравнение: 3sin2x+12sin2x1=0

  8. Используем тождество для sin2x: sin2x=1cos2x2

  9. Подставим это выражение в уравнение: 3(1cos2x2)+12sin2x1=0 3(1cos2x)2+12sin2x1=0

  10. Упростим выражение: 33cos2x+sin2x21=0 33cos2x+sin2x2=0 13cos2x+sin2x=0

  11. Переставим слагаемые: sin2x3cos2x+1=0

  12. Решим полученное уравнение: sin2x3cos2x=1

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом вспомогательного угла. Представим выражение в виде: Rsin(2x+α)=1 где R=(3)2+12=9+1=10 и α такой, что cosα=3/10 и sinα=1/10.

  1. Таким образом, уравнение принимает вид: 10sin(2x+α)=1 sin(2x+α)=110

  2. Решаем уравнение для sin(2x+α = -\frac{1}{\sqrt{10}} ): 2x+α=arcsin(110)+2πk или 2x+α=πarcsin(110)+2πk

  3. Из этих выражений находим x: x=arcsin(110)α+2πk2 или x=πarcsin(110)α+2πk2

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению корней тригонометрического уравнения с учетом периодичности функции.

avatar
ответил 7 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Решите уравнение: cos4x-cos^2x=1
2 месяца назад lora075
Решите уравнение sin2x+√2sinx=2cosx+√2
4 месяца назад voydikova
Решите пожалуйста: 8sin^4x+10sin^x-3=0
10 месяцев назад olivka2000
Решите уравнение: sin3x - sinx = 0
6 месяцев назад kSelevat5omhi
Решите Уравнение: cos4x=0
3 месяца назад Салават314
Решите уравнение х2+6/5 - 8х/10 =1
11 месяцев назад kristinp996267
Решите неравенство sin x >1/2
3 месяца назад ghost91100