Решите уравнение 5sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=1

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Для начала заметим, что у нас есть квадраты синуса и косинуса, что намекает на необходимость использования тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Также, мы можем воспользоваться тождествами для произведения синуса и косинуса - $2\sin x\cos x=\sin 2x$.

Теперь подставим это в уравнение: $5{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=1$ $5{\sin }^{2}x+\sin 2x-(1-{\sin }^{2}x)=1$ $6{\sin }^{2}x+\sin 2x-1=1$ $6{\sin }^{2}x+\sin 2x-2=0$

Теперь представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно $\sin x$: $6t^2+2t-2=0$

Решив это уравнение, мы найдем значения $\sin x$. Далее, используя найденные значения, можно найти значения для $x$.

Для решения уравнения $5{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=1$, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

1. Применим основные тригонометрические тождества: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ Это тождество позволяет выразить ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$

2. Подставим это выражение в исходное уравнение: $5{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-(1-{\sin }^{2}x)=1$

3. Упростим выражение: $5{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-1+{\sin }^{2}x=1$ $6{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-1=1$

4. Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения: $6{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-2=0$

5. Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $3{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-1=0$

6. Заметим, что $\sin x\cos x$ можно выразить через $\sin 2x$: $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$

7. Подставим это в уравнение: $3{\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\sin 2x-1=0$

8. Используем тождество для ${\sin }^{2}x$: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

9. Подставим это выражение в уравнение: $3\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin 2x-1=0$ $\frac{3(1-\cos 2x)}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x-1=0$

10. Упростим выражение: $\frac{3-3\cos 2x+\sin 2x}{2}-1=0$ $3-3\cos 2x+\sin 2x-2=0$ $1-3\cos 2x+\sin 2x=0$

11. Переставим слагаемые: $\sin 2x-3\cos 2x+1=0$

12. Решим полученное уравнение: $\sin 2x-3\cos 2x=-1$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом вспомогательного угла. Представим выражение в виде: $R\sin (2x+\alpha )=-1$ где $R=\sqrt{(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ и $\alpha$ такой, что $\cos \alpha =-3/\sqrt{10}$ и $\sin \alpha =1/\sqrt{10}$.

1. Таким образом, уравнение принимает вид: $\sqrt{10}\sin (2x+\alpha )=-1$ $\sin (2x+\alpha )=-\frac{1}{\sqrt{10}}$

2. Решаем уравнение для $\sin (2x+\alpha$ = -\frac{1}{\sqrt{10}} ): $2x+\alpha =\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{10}})+2\pi k$ или $2x+\alpha =\pi -\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{10}})+2\pi k$

3. Из этих выражений находим $x$: $x=\frac{\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{10}})-\alpha +2\pi k}{2}$ или $x=\frac{\pi -\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{10}})-\alpha +2\pi k}{2}$

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению корней тригонометрического уравнения с учетом периодичности функции.