Решите уравнение 64x + x^-1 = -16

Давайте решим уравнение ( 64x + x^{-1} = -16 ).

Для начала сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть ( y = x + x^{-1} ). Тогда ( 64x + x^{-1} ) можно представить в виде ( 64x + x^{-1} = 64 \cdot x + x^{-1} ).

Таким образом, наше уравнение принимает вид: [ 64 \cdot x + x^{-1} = -16 ]

Теперь мы можем упростить уравнение следующим образом: [ 64 \cdot x + \frac{1}{x} = -16 ]

Умножим обе части уравнения на ( x ) (при условии, что ( x \neq 0 )) для того, чтобы избавиться от дроби: [ 64x^2 + 1 = -16x ]

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: [ 64x^2 + 16x + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 64 ), ( b = 16 ), и ( c = 1 ).

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac ]

Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ) в формулу дискриминанта: [ D = 16^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1 ] [ D = 256 - 256 ] [ D = 0 ]

Дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет один корень (двойной корень). Найдем этот корень с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Поскольку ( D = 0 ), формула упрощается: [ x = \frac{-b}{2a} ]

Подставим значения ( a ) и ( b ): [ x = \frac{-16}{2 \cdot 64} ] [ x = \frac{-16}{128} ] [ x = -\frac{1}{8} ]

Таким образом, корень уравнения ( 64x + x^{-1} = -16 ) равен: [ x = -\frac{1}{8} ]

Проверим наш результат, подставив ( x = -\frac{1}{8} ) обратно в исходное уравнение: [ 64 \left( -\frac{1}{8} \right) + \left( -\frac{1}{8} \right)^{-1} = -16 ] [ 64 \cdot -\frac{1}{8} + -8 = -16 ] [ -8 + -8 = -16 ] [ -16 = -16 ]

Результат подтверждается. Таким образом, единственный корень уравнения ( 64x + x^{-1} = -16 ) равен ( x = -\frac{1}{8} ).

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю, умножив обе части на x:

64x^2 + 1 = -16x

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

64x^2 + 16x + 1 = 0

Далее, используя квадратное уравнение, найдем корни:

D = 16^2 - 4 64 1 = 256 - 256 = 0

x = (-16 ± √0) / 128

x = -16 / 128 = -1/8

Таким образом, решением уравнения 64x + x^-1 = -16 является x = -1/8.

Умножаем уравнение на x и решаем квадратное уравнение. Получаем два корня: x = -4 и x = -1/16.