Решите уравнение: 8/x-3 - 10/x = 2 все в дробях

Умножаем обе части уравнения на x(x-3): 8(x) - 10(x-3) = 2(x)(x-3) 8x - 10x + 30 = 2x^2 - 6x -2x + 30 = 2x^2 - 6x Переносим все в одну сторону: 2x^2 - 4x - 30 = 0 Делим на 2: x^2 - 2x - 15 = 0 Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 2^2 - 41(-15) = 4 + 60 = 64 x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (2 ± √64) / 2 = (2 ± 8) / 2 x1 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5 x2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3

Ответ: x1 = 5, x2 = -3.

Для решения уравнения ( \frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2 ), надо сначала найти общий знаменатель для дробей, затем избавиться от дробей, и наконец решить полученное уравнение.

1. Найдём общий знаменатель для дробей ( \frac{8}{x-3} ) и ( \frac{10}{x} ). Общий знаменатель будет произведением знаменателей, то есть ( x(x-3) ).

2. Преобразуем каждую дробь к общему знаменателю: [ \frac{8}{x-3} = \frac{8x}{x(x-3)} ] [ \frac{10}{x} = \frac{10(x-3)}{x(x-3)} = \frac{10x - 30}{x(x-3)} ]

3. Запишем уравнение с общим знаменателем: [ \frac{8x}{x(x-3)} - \frac{10x - 30}{x(x-3)} = 2 ]

4. Объединим дроби: [ \frac{8x - (10x - 30)}{x(x-3)} = 2 ] [ \frac{8x - 10x + 30}{x(x-3)} = 2 ] [ \frac{-2x + 30}{x(x-3)} = 2 ]

5. Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на ( x(x-3) ): [ -2x + 30 = 2x(x-3) ]

6. Раскроем скобки и упростим уравнение: [ -2x + 30 = 2x^2 - 6x ]

7. Перенесём все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: [ 2x^2 - 6x + 2x - 30 = 0 ] [ 2x^2 - 4x - 30 = 0 ]

8. Упростим уравнение, разделив на 2: [ x^2 - 2x - 15 = 0 ]

9. Решим квадратное уравнение ( x^2 - 2x - 15 = 0 ) с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 ]

10. Найдём корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} ] [ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 ]

11. Проверим корни на допустимость:

    • ( x = 5 ) подходит, так как не приводит к нулю в знаменателе.
    • ( x = -3 ) не подходит, так как приводит к нулю знаменатель в первой дроби ( ( x - 3 = -3 - 3 = -6 \neq 0 ), но знаменатель во второй дроби ( x = -3 ) равен нулю).

Таким образом, единственным допустимым решением уравнения ( \frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2 ) является ( x = 5 ).

Для решения данного уравнения сначала приведем обе дроби к общему знаменателю, который будет равен x(x-3):

8/x - 24/x = 2x(x-3)

После умножения обеих сторон уравнения на x(x-3) получим:

8(x - 3) - 24 = 2x(x - 3)

Раскроем скобки:

8x - 24 - 24 = 2x^2 - 6x

8x - 48 = 2x^2 - 6x

Приведем все члены уравнения в одну сторону:

2x^2 - 6x - 8x + 6x - 48 = 0

2x^2 - 8x - 48 = 0

Разделим все коэффициенты на 2:

x^2 - 4x - 24 = 0

Теперь найдем корни уравнения, используя квадратное уравнение:

D = (-4)^2 - 41(-24) = 16 + 96 = 112

x1,2 = (4 ± √112)/2 = (4 ± 4√7)/2 = 2 ± 2√7

Таким образом, уравнение 8/x - 24/x = 2 имеет два корня: x1 = 2 + 2√7 и x2 = 2 - 2√7.