Решите уравнение 9х^4-32 х^2-16=0

Данное уравнение является квадратным относительно x^2. Проведя замену y = x^2, получим уравнение 9y^2 - 32y - 16 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем два значения y. После этого подставим найденные значения y обратно в уравнение y = x^2 и выразим x. Получим четыре корня: x = +/- 2, x = +/- √$8/3$.

Решим уравнение $9x^4-32x^2-16=0$.

Для начала введем замену переменной: $y=x^2.$ Тогда уравнение преобразуется в: $9y^2-32y-16=0.$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $y$. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$ где $a=9$, $b=-32$, $c=-16$.

Подставим эти значения в формулу: $y=\frac{-(-32)\pm \sqrt{(-32{)}^2-4\cdot 9\cdot (-16)}}{2\cdot 9}.$ $y=\frac{32\pm \sqrt{1024+576}}{18}.$ $y=\frac{32\pm \sqrt{1600}}{18}.$ $y=\frac{32\pm 40}{18}.$

Теперь найдем два значения для $y$:

1. $y_1=\frac{32+40}{18}=\frac{72}{18}=4.$

2. $y_2=\frac{32-40}{18}=\frac{-8}{18}=-\frac{4}{9}.$

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. Если $y=4$: $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$

2. Если $y=-\frac{4}{9}$: $x^2=-\frac{4}{9}.$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то $x^2=-\frac{4}{9}$ не имеет действительных решений.

Итак, у уравнения $9x^4-32x^2-16=0$ есть два действительных корня: $x=2\text{и}x=-2.$

Ответ: $x=2$ и $x=-2$.

Для решения уравнения 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0 сначала введем замену, например, y = x^2. Тогда уравнение примет вид 9y^2 - 32y - 16 = 0.

Далее решим это квадратное уравнение относительно y с помощью дискриминанта D = b^2 - 4ac. D = $-32$^2 - 49$-16$ = 1024 + 576 = 1600.

Так как D > 0, у уравнения два действительных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения: y1,2 = $-b\pm \surd D$ / 2a = $32\pm 40$ / 18.

y1 = $32+40$ / 18 = 72 / 18 = 4, y2 = $32-40$ / 18 = -8 / 18 = -4/9.

Теперь найдем корни исходного уравнения, подставив найденные значения y в уравнение y = x^2: x1 = √y1 = √4 = 2, x2 = -√y1 = -2, x3 = √y2 = √$-4/9$ = 2/3, x4 = -√y2 = -2/3.

Итак, корни уравнения 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0: x1 = 2, x2 = -2, x3 = 2/3, x4 = -2/3.