Решите уравнение 9х^4-32 х^2-16=0

Данное уравнение является квадратным относительно x^2. Проведя замену y = x^2, получим уравнение 9y^2 - 32y - 16 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем два значения y. После этого подставим найденные значения y обратно в уравнение y = x^2 и выразим x. Получим четыре корня: x = +/- 2, x = +/- √(8/3).

Решим уравнение (9x^4 - 32x^2 - 16 = 0).

Для начала введем замену переменной: [y = x^2.] Тогда уравнение преобразуется в: [9y^2 - 32y - 16 = 0.]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно (y). Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},] где (a = 9), (b = -32), (c = -16).

Подставим эти значения в формулу: [y = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16)}}{2 \cdot 9}.] [y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 + 576}}{18}.] [y = \frac{32 \pm \sqrt{1600}}{18}.] [y = \frac{32 \pm 40}{18}.]

Теперь найдем два значения для (y):

1. [y_1 = \frac{32 + 40}{18} = \frac{72}{18} = 4.]

2. [y_2 = \frac{32 - 40}{18} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}.]

Теперь вернемся к переменной (x):

1. Если (y = 4): [x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.]

2. Если (y = -\frac{4}{9}): [x^2 = -\frac{4}{9}.]

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то (x^2 = -\frac{4}{9}) не имеет действительных решений.

Итак, у уравнения (9x^4 - 32x^2 - 16 = 0) есть два действительных корня: [x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2.]

Ответ: (x = 2) и (x = -2).

Для решения уравнения 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0 сначала введем замену, например, y = x^2. Тогда уравнение примет вид 9y^2 - 32y - 16 = 0.

Далее решим это квадратное уравнение относительно y с помощью дискриминанта D = b^2 - 4ac. D = (-32)^2 - 49(-16) = 1024 + 576 = 1600.

Так как D > 0, у уравнения два действительных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения: y1,2 = (-b ± √D) / 2a = (32 ± 40) / 18.

y1 = (32 + 40) / 18 = 72 / 18 = 4, y2 = (32 - 40) / 18 = -8 / 18 = -4/9.

Теперь найдем корни исходного уравнения, подставив найденные значения y в уравнение y = x^2: x1 = √y1 = √4 = 2, x2 = -√y1 = -2, x3 = √y2 = √(-4/9) = 2/3, x4 = -√y2 = -2/3.

Итак, корни уравнения 9x^4 - 32x^2 - 16 = 0: x1 = 2, x2 = -2, x3 = 2/3, x4 = -2/3.