Решите уравнение: cos4x-cos^2x=1

Для решения данного уравнения нам необходимо использовать тригонометрические тождества. Сначала перепишем уравнение в виде:

cos^2x - cos4x = -1

Затем воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos2a = 2cos^2a - 1

cos4x = 2cos^2(2x) - 1

Теперь подставим это выражение в уравнение:

cos^2x - (2cos^2(2x) - 1) = -1

cos^2x - 2cos^2(2x) + 1 = -1

cos^2x - 2cos^2(2x) = -2

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса снова:

cos2a = 2cos^2a - 1

cos(2x) = ±√((1 + cos(4x)) / 2)

cos(2x) = ±√((1 + (2cos^2(2x) - 1)) / 2)

cos(2x) = ±√(2cos^2(2x) / 2)

cos(2x) = ±√cos^2(2x)

cos(2x) = ±cos(2x)

Таким образом, уравнение имеет бесконечное количество решений, так как для любого значения x выполняется это равенство.

Чтобы решить уравнение (\cos 4x - \cos^2 x = 1), сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.

1. Тождество для (\cos 4x):

   [ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 ]

   Также используем тождество для (\cos 2x):

   [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ]

   Подставим (\cos 2x) в выражение для (\cos 4x):

   [ \cos 4x = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 ]

   Упростим:

   [ = 2(4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1) - 1 ] [ = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 2 - 1 ] [ = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 ]

2. Подставим в исходное уравнение:

   [ 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 - \cos^2 x = 1 ]

   Упростим его:

   [ 8\cos^4 x - 9\cos^2 x + 1 = 1 ]

   [ 8\cos^4 x - 9\cos^2 x = 0 ]

3. Вынесем (\cos^2 x) за скобки:

   [ \cos^2 x (8\cos^2 x - 9) = 0 ]

   Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

4. Рассмотрим каждый множитель:

   1. (\cos^2 x = 0)

      (\cos x = 0)

      Решение: (x = \frac{\pi}{2} + \pi n), где (n \in \mathbb{Z}).

   2. (8\cos^2 x - 9 = 0)

      (\cos^2 x = \frac{9}{8})

      Это уравнение не имеет решений, так как (\cos^2 x) всегда находится в пределах от 0 до 1, а (\frac{9}{8}) больше 1.

Таким образом, решением данного уравнения являются корни, где (\cos x = 0):

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]