Решите уравнение х/х-2-7/х+2=8/х^2-4

Для начала приведем все дроби к общему знаменателю, который будет равен (х-2)(х+2):

x(х+2)/(х-2)(х+2) - 7(х-2)/(х-2)(х+2) = 8/(х^2-4)

После упрощения получаем:

x^2 + 2x - 7x + 14 = 8

x^2 - 5x + 14 = 8

x^2 - 5x + 6 = 0

Теперь найдем корни уравнения, используя метод разложения на множители или квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 или x = 3

Таким образом, решением уравнения х/х-2-7/х+2=8/х^2-4 являются x = 2 и x = 3.

Для решения уравнения (\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}), сначала упростим выражение.

Заметим, что (x^2 - 4) можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: [x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).]

Таким образом, уравнение приобретает вид: [\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}.]

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю ((x-2)(x+2)):

[\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}.]

Теперь у нас общий знаменатель, и мы можем объединить дроби:

[\frac{x(x+2) - 7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}.]

Приравниваем числители, так как знаменатели уже одинаковые:

[x(x+2) - 7(x-2) = 8.]

Раскроем скобки в числителе:

[x^2 + 2x - 7x + 14 = 8.]

Соберем все члены в одну сторону уравнения и упростим:

[x^2 - 5x + 14 = 8.]

Перенесем 8 влево и приведем подобные члены:

[x^2 - 5x + 6 = 0.]

Теперь у нас квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]

где (a = 1), (b = -5) и (c = 6).

Подставляем значения в формулу:

[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1},]

[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2},]

[x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}.]

Теперь найдём два корня:

[x = \frac{5 + 1}{2} = 3,]

[x = \frac{5 - 1}{2} = 2.]

Однако, нужно помнить о том, что (x) не может быть равен 2, так как это сделает знаменатель ((x-2)) равным нулю, что недопустимо. Проверим оставшийся корень (x = 3):

Подставим (x = 3) обратно в уравнение:

[\frac{3}{3-2} - \frac{7}{3+2} = \frac{8}{3^2-4},]

[\frac{3}{1} - \frac{7}{5} = \frac{8}{9-4},]

[3 - \frac{7}{5} = \frac{8}{5},]

[3 - 1.4 = 1.6.]

Таким образом, корень (x = 3) удовлетворяет уравнению.

Ответ: (x = 3).

Переносим все дроби в левую часть уравнения, приводим к общему знаменателю, упрощаем выражение и находим корни уравнения.