РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ (комбинаторика) С из (n+4) по (n+1) = C из (n+3) по n +15(n+2)

Давайте рассмотрим уравнение, связанное с комбинаторикой:

[ C{n+4}^{n+1} = C{n+3}^{n} + 15(n+2) ]

Здесь ( C_{n}^{k} ) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Теперь подставим значения в уравнение:

1. Выразим левую часть:

[ C_{n+4}^{n+1} = \frac{(n+4)!}{(n+1)!(3)!} = \frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} ]

1. Выразим правую часть:

[ C_{n+3}^{n} = \frac{(n+3)!}{n!(3)!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ \frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} + 15(n+2) ]

Умножим всё на 6, чтобы убрать знаменатели:

[ (n+4)(n+3)(n+2) = (n+3)(n+2)(n+1) + 90(n+2) ]

Вынесем общий множитель ((n+2)):

[ (n+2)\left[(n+4)(n+3) - (n+3)(n+1) - 90\right] = 0 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ (n+4)(n+3) = n^2 + 7n + 12 ]

[ (n+3)(n+1) = n^2 + 4n + 3 ]

Подставим в уравнение:

[ (n+2)\left[n^2 + 7n + 12 - n^2 - 4n - 3 - 90\right] = 0 ]

Упростим выражение внутри скобок:

[ (n+2)(3n + 9 - 90) = 0 ]

[ (n+2)(3n - 81) = 0 ]

Решим уравнение:

1. ( n+2 = 0 ) ( \Rightarrow n = -2 ) (но это значение не подходит, так как n должно быть неотрицательным в контексте комбинаторики).

2. ( 3n - 81 = 0 ) ( \Rightarrow 3n = 81 ) ( \Rightarrow n = 27 )

Таким образом, решение уравнения: ( n = 27 ).

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний: C из m по k = m! / (k! * (m-k)!)

Исходя из данного уравнения: C из (n+4) по (n+1) = C из (n+3) по n + 15(n+2)

Подставим значения в соответствующие формулы: (n+4)! / ((n+1)! 3!) = (n+3)! / (n! 3!) + 15(n+2)

Далее развернем факториалы и упростим уравнение. После упрощения найдем решение для n.

Это даст нам числовое значение для переменной n, которое будет удовлетворять данному уравнению в контексте комбинаторики.