Решите уравнение корень 7 степени из х-1 = -х+3

Для решения данного уравнения, воспользуемся методом замены переменных. Обозначим корень 7 степени из х-1 за y. Тогда уравнение примет вид y = -х + 3. Возводим обе части уравнения в 7 степень: y^7 = (-х + 3)^7. Подставляем значение y в уравнение: (x-1) = (-х + 3)^7. Раскрываем скобки в правой части уравнения: (x-1) = (-х + 3)(-х + 3)(-х + 3)(-х + 3)(-х + 3)(-х + 3)(-х + 3). После упрощения и решения уравнения получим значение х.

Решим уравнение (\sqrt[7]{x-1} = -x + 3).

Шаг 1: Возведение обеих частей уравнения в седьмую степень

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в седьмую степень:

[ (\sqrt[7]{x-1})^7 = (-x + 3)^7 ]

Это упростится до:

[ x - 1 = (-x + 3)^7 ]

Шаг 2: Анализ правой части уравнения

Теперь нам нужно раскрыть правую часть уравнения. Однако, вместо полного раскрытия можем воспользоваться тем, что возведение в нечетную степень сохраняет знак выражения. Таким образом, мы имеем:

• Если (-x + 3 \geq 0), то ((-x + 3)^7) положительно.
• Если (-x + 3 < 0), то ((-x + 3)^7) отрицательно.

Поскольку левая часть уравнения (x - 1) может принимать любые значения, мы должны рассмотреть оба этих случая.

Шаг 3: Решение уравнения

Случай 1: (-x + 3 \geq 0)

Это условие можно переписать как:

[ -x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3 ]

Для этого случая наше уравнение:

[ x - 1 = (-x + 3)^7 ]

Теперь подставим возможные значения (x) и проверим, при каких (x) уравнение выполняется.

Случай 2: (-x + 3 < 0)

Это условие можно переписать как:

[ -x + 3 < 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3 ]

Но в этом случае ((-x + 3)^7) будет отрицательным, и (x - 1) должно быть также отрицательно. Однако, при (x > 3), левая часть (x - 1) будет положительной. Следовательно, решений в этом случае нет.

Шаг 4: Проверка конкретных значений

Теперь проверим конкретное значение (x = 2) из интервала [1, 3]:

1. Подставим (x = 2) в уравнение: [ \sqrt[7]{2 - 1} = -2 + 3 ] [ \sqrt[7]{1} = 1 ] Это равенство верно.

Таким образом, единственное решение уравнения: [ x = 2 ]