Решите уравнение; под корнем 15-x + под корнем 3-x=6

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его: √(15 - x) + √(3 - x) = 6 √(15 - x) = 6 - √(3 - x) Возводим обе части уравнения в квадрат: 15 - x = 36 - 12√(3 - x) + 3 - x 12√(3 - x) = 24 - 2x √(3 - x) = 2 - x/6 Теперь возводим в квадрат обе части уравнения: 3 - x = 4 - 4x/6 + x^2/36 x^2 - 8x + 12 = 0 Далее решаем квадратное уравнение: D = 64 - 4*12 = 16 x1 = (8 + 4)/2 = 6 x2 = (8 - 4)/2 = 2 Проверяем корни: При x = 6: √(15 - 6) + √(3 - 6) = √9 + √(-3) = 3 + √3 При x = 2: √(15 - 2) + √(3 - 2) = √13 + √1 = √13 + 1 Таким образом, корни уравнения равны 6 и 2.

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6 ]

Для решения этого уравнения сделаем следующее:

1. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

   Для того чтобы иметь смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

   • (15 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 15)
   • (3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3)

   Таким образом, (x \leq 3).

2. Изолируем один из корней:

   Перепишем уравнение, изолировав один из корней:

   [ \sqrt{15 - x} = 6 - \sqrt{3 - x} ]

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

   [ 15 - x = (6 - \sqrt{3 - x})^2 ]

   Раскроем скобки справа:

   [ 15 - x = 36 - 12\sqrt{3 - x} + (3 - x) ]

   Упростим правую часть:

   [ 15 - x = 39 - x - 12\sqrt{3 - x} ]

4. Упростим уравнение:

   Уберем (x) с обеих сторон:

   [ 15 = 39 - 12\sqrt{3 - x} ]

   Перенесем 39 влево:

   [ 15 - 39 = -12\sqrt{3 - x} ]

   [ -24 = -12\sqrt{3 - x} ]

   Разделим обе части на -12:

   [ 2 = \sqrt{3 - x} ]

5. Возведем обе части в квадрат еще раз:

   [ 4 = 3 - x ]

6. Найдем (x):

   [ x = 3 - 4 = -1 ]

7. Проверка:

   Подставим (x = -1) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что это решение удовлетворяет ОДЗ и исходному уравнению:

   [ \sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 ]

   Таким образом, (x = -1) является решением уравнения.

Ответ: (x = -1).