Решите уравнение пожалуйста Log3(5-x)+log3(-1-x)=3

Для решения данного уравнения сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием: log3(5-x) + log3(-1-x) = log3((5-x)(-1-x))

Далее преобразуем уравнение: log3((5-x)(-1-x)) = 3

Теперь избавимся от логарифма, применив свойство логарифма: если loga(b) = c, то a^c = b: (5-x)(-1-x) = 3^3 (-5+x)(x-1) = 27 -5x + 5 - x^2 + x = 27 -x^2 - 4x + 5 = 27 -x^2 - 4x - 22 = 0

Далее решаем полученное квадратное уравнение: D = (-4)^2 - 4(-1)(-22) = 16 - 88 = -72

x = (-(-4) ± √(-72)) / 2(-1) x = (4 ± 6√2i) / 2 x = 2 ± 3√2*i

Таким образом, решение уравнения log3(5-x) + log3(-1-x) = 3: x = 2 + 3√2i или x = 2 - 3√2i.

Рассмотрим уравнение: [ \log_3 (5 - x) + \log_3 (-1 - x) = 3 ]

Для начала вспомним свойства логарифмов. Одно из таких свойств гласит: [ \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) ]

Применим это свойство к нашему уравнению: [ \log_3 ((5 - x)(-1 - x)) = 3 ]

Теперь у нас есть логарифм произведения двух выражений. Преобразуем выражение внутри логарифма: [ (5 - x)(-1 - x) = 5(-1 - x) - x(-1 - x) = -5 - 5x - x + x^2 = x^2 - 6x - 5 ]

Следовательно, уравнение принимает вид: [ \log_3 (x^2 - 6x - 5) = 3 ]

Теперь применим определение логарифма. Уравнение (\log_b a = c) эквивалентно (a = b^c).

Таким образом, наше уравнение становится: [ x^2 - 6x - 5 = 3^3 ]

Вычислим (3^3): [ 3^3 = 27 ]

Итак, у нас получилось квадратичное уравнение: [ x^2 - 6x - 5 = 27 ]

Перенесем 27 на левую сторону уравнения: [ x^2 - 6x - 5 - 27 = 0 ] [ x^2 - 6x - 32 = 0 ]

Теперь решим это квадратичное уравнение. Для этого можно использовать формулу для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае (a = 1), (b = -6), (c = -32). Подставим эти значения в формулу: [ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 128}}{2} ] [ x = \frac{6 \pm \sqrt{164}}{2} ]

Упростим выражение под корнем: [ \sqrt{164} = 2\sqrt{41} ]

Следовательно: [ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{41}}{2} ] [ x = 3 \pm \sqrt{41} ]

Таким образом, у нас есть два решения: [ x_1 = 3 + \sqrt{41} ] [ x_2 = 3 - \sqrt{41} ]

Однако, нужно проверить, удовлетворяют ли эти корни условию, что аргументы логарифмов должны быть положительными: [ 5 - x > 0 ] [ -1 - x > 0 ]

Проверим ( x_1 = 3 + \sqrt{41} ): [ 5 - (3 + \sqrt{41}) = 2 - \sqrt{41} ] [ -1 - (3 + \sqrt{41}) = -4 - \sqrt{41} ]

Очевидно, оба выражения отрицательны, следовательно, ( x_1 ) не удовлетворяет условию.

Проверим ( x_2 = 3 - \sqrt{41} ): [ 5 - (3 - \sqrt{41}) = 2 + \sqrt{41} ] [ -1 - (3 - \sqrt{41}) = -4 + \sqrt{41} ]

Поскольку ( \sqrt{41} \approx 6.4 ), оба выражения положительны. Следовательно, ( x_2 ) удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным решением уравнения является: [ x = 3 - \sqrt{41} ]