Решите уравнение sin2x+√2sinx=2cosx+√2

Решим уравнение ( \sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2} ).

Начнем с преобразования уравнения, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что:

[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x ]

Подставим это в уравнение:

[ 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2} ]

Теперь сгруппируем члены, содержащие ( \cos x ):

[ 2 \cos x (\sin x - 1) = \sqrt{2} - \sqrt{2} \sin x ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ 2 \cos x (\sin x - 1) + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} = 0 ]

Рассмотрим случай, когда ( \cos x = 0 ). В этом случае ( x = \frac{\pi}{2} + \pi n ), где ( n ) — целое число. Подставим это значение в исходное уравнение:

[ \sin 2x = \sin(\pi + 2\pi n) = 0 ] [ \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \cdot (-1)^n = \pm \sqrt{2} ] [ 2 \cos x = 0 ] [ \sqrt{2} = \sqrt{2} ]

Таким образом, ( x = \frac{\pi}{2} + \pi n ) является решением уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда ( \cos x \neq 0 ). Разделим обе части уравнения на ( \cos x ):

[ 2 (\sin x - 1) + \sqrt{2} \tan x = 0 ]

Это уравнение можно решить относительно ( \tan x ):

[ \sqrt{2} \tan x = 2 (1 - \sin x) ]

Подставим ( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ) и решим относительно ( \sin x ):

[ \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} = 2 (1 - \sin x) ]

Умножим обе части на ( \cos x ) и преобразуем:

[ \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x - 2 \sin x \cos x ]

Это уравнение можно решить численно или графически, но аналитически оно будет сложным для дальнейших преобразований.

Таким образом, основное решение уравнения, полученное аналитическим путем, это ( x = \frac{\pi}{2} + \pi n ), где ( n ) — целое число. Для других решений необходимо использовать численные методы или графические интерпретации.

sin2x + √2sinx = 2cosx + √2

2sinxcosx + √2sinx = 2cosx + √2

sinx(2cosx + √2) = 2cosx + √2

sinx = (2cosx + √2) / (2cosx + √2)

sinx = 1

x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Для решения данного уравнения sin2x + √2sinx = 2cosx + √2 преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

sin2x = 2sinxcosx (тождество двойного угла) 2sinxcosx + √2sinx = 2cosx + √2 2sinx(cosx + √2) = 2cosx + √2 sinx(cosx + √2) = cosx + √2/2

Далее преобразуем это уравнение к виду, где у нас будет только одна тригонометрическая функция:

sinx = (cosx + √2/2) / (cosx + √2)

Далее используем формулу тангенса полусуммы:

tg(x/2) = (cos(x) + √2/2) / (cos(x) + √2)

Теперь находим x:

tg(x/2) = (cos(x) + √2/2) / (cos(x) + √2) x/2 = arctg((cos(x) + √2/2) / (cos(x) + √2)) x = 2 * arctg((cos(x) + √2/2) / (cos(x) + √2))

Таким образом, итоговое решение уравнения sin2x + √2sinx = 2cosx + √2 будет представлено в виде x = 2 * arctg((cos(x) + √2/2) / (cos(x) + √2)).