Решите уравнение: sin3x - sinx = 0

Для решения уравнения $\sin 3x-\sin x=0$, начнем с того, что перепишем его в более удобной форме:

$\sin 3x-\sin x=0$

Это уравнение можно упростить, используя формулу разности синусов:

$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

В нашем случае $A=3x$ и $B=x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 3x-\sin x=2\cos \left(\frac{3x+x}{2}\right)\sin \left(\frac{3x-x}{2}\right)$

Упростим выражение:

$\sin 3x-\sin x=2\cos (2x)\sin (x)$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$2\cos (2x)\sin (x)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $\cos (2x$ = 0 )
2. $\sin (x$ = 0 )

Рассмотрим первый случай $\cos (2x$ = 0 ):

Косинус равен нулю при углах вида $\frac{\pi }{2}+\pi k$, где $k$ — целое число. Таким образом,

$2x=\frac{\pi }{2}+\pi k$

Разделим обе стороны на 2:

$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$

Это можно записать в виде:

$x=\frac{\pi (1+2k)}{4}$

где $k$ — целое число.

Теперь рассмотрим второй случай $\sin (x$ = 0 ):

Синус равен нулю при углах вида $\pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом,

$x=\pi n$

где $n$ — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $\sin 3x-\sin x=0$ состоит из двух семейств решений:

1. $x=\frac{\pi (1+2k)}{4}$, где $k$ — целое число.
2. $x=\pi n$, где $n$ — целое число.

В итоге, объединяя оба семейства решений, мы получаем:

$x=\frac{\pi (1+2k)}{4}\text{или}x=\pi n$

где $k$ и $n$ — целые числа.

Для решения данного уравнения sin$3x$ - sin$x$ = 0, можно воспользоваться формулой разности синусов: sin$a$ - sin$b$ = 2 cos$(a+b$/2) sin$(a-b$/2)

Применяя данную формулу, получаем: sin$3x$ - sin$x$ = 2 cos$(3x+x$/2) sin$(3x-x$/2) sin$3x$ - sin$x$ = 2 cos$2x$ sin$x$

Таким образом, уравнение примет вид: 2 cos$2x$ sin$x$ = 0

Из этого уравнения можно выделить два случая:

1. cos$2x$ = 0

2. sin$x$ = 0

3. Решим уравнение cos$2x$ = 0: cos$2x$ = 0 2x = π/2 + πn, где n - целое число x = π/4 + πn

4. Решим уравнение sin$x$ = 0: sin$x$ = 0 x = 0 + πn, где n - целое число

Таким образом, общее решение уравнения sin$3x$ - sin$x$ = 0: x = π/4 + πn, x = 0 + πn, где n - целое число.