Решите уравнение: sin3x - sinx = 0

Для решения уравнения ( \sin 3x - \sin x = 0 ), начнем с того, что перепишем его в более удобной форме:

[ \sin 3x - \sin x = 0 ]

Это уравнение можно упростить, используя формулу разности синусов:

[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \sin \left(\frac{A - B}{2}\right) ]

В нашем случае ( A = 3x ) и ( B = x ). Подставим эти значения в формулу:

[ \sin 3x - \sin x = 2 \cos \left(\frac{3x + x}{2}\right) \sin \left(\frac{3x - x}{2}\right) ]

Упростим выражение:

[ \sin 3x - \sin x = 2 \cos (2x) \sin (x) ]

Теперь наше уравнение выглядит так:

[ 2 \cos (2x) \sin (x) = 0 ]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. ( \cos (2x) = 0 )
2. ( \sin (x) = 0 )

Рассмотрим первый случай ( \cos (2x) = 0 ):

Косинус равен нулю при углах вида ( \frac{\pi}{2} + \pi k ), где ( k ) — целое число. Таким образом,

[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k ]

Разделим обе стороны на 2:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} ]

Это можно записать в виде:

[ x = \frac{\pi (1 + 2k)}{4} ]

где ( k ) — целое число.

Теперь рассмотрим второй случай ( \sin (x) = 0 ):

Синус равен нулю при углах вида ( \pi n ), где ( n ) — целое число. Таким образом,

[ x = \pi n ]

где ( n ) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения ( \sin 3x - \sin x = 0 ) состоит из двух семейств решений:

1. ( x = \frac{\pi (1 + 2k)}{4} ), где ( k ) — целое число.
2. ( x = \pi n ), где ( n ) — целое число.

В итоге, объединяя оба семейства решений, мы получаем:

[ x = \frac{\pi (1 + 2k)}{4} \quad \text{или} \quad x = \pi n ]

где ( k ) и ( n ) — целые числа.

Для решения данного уравнения sin(3x) - sin(x) = 0, можно воспользоваться формулой разности синусов: sin(a) - sin(b) = 2 cos((a + b)/2) sin((a - b)/2)

Применяя данную формулу, получаем: sin(3x) - sin(x) = 2 cos((3x + x)/2) sin((3x - x)/2) sin(3x) - sin(x) = 2 cos(2x) sin(x)

Таким образом, уравнение примет вид: 2 cos(2x) sin(x) = 0

Из этого уравнения можно выделить два случая:

1. cos(2x) = 0

2. sin(x) = 0

3. Решим уравнение cos(2x) = 0: cos(2x) = 0 2x = π/2 + πn, где n - целое число x = π/4 + πn

4. Решим уравнение sin(x) = 0: sin(x) = 0 x = 0 + πn, где n - целое число

Таким образом, общее решение уравнения sin(3x) - sin(x) = 0: x = π/4 + πn, x = 0 + πn, где n - целое число.