Решите уравнение x^2-12/x-3=x/3-x

Давайте рассмотрим уравнение ( \frac{x^2 - 12}{x - 3} = \frac{x}{3} - x ).

Для начала упростим правую часть уравнения. Приведем правую часть к общему знаменателю:

[ \frac{x}{3} - x = \frac{x}{3} - \frac{3x}{3} = \frac{x - 3x}{3} = \frac{-2x}{3} ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ \frac{x^2 - 12}{x - 3} = \frac{-2x}{3} ]

Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на 3:

[ 3 \cdot \frac{x^2 - 12}{x - 3} = -2x ]

В результате получаем:

[ \frac{3(x^2 - 12)}{x - 3} = -2x ]

Теперь упростим левую часть. Раскроем скобки:

[ \frac{3x^2 - 36}{x - 3} = -2x ]

Разделим числитель на знаменатель. Для этого выделим полный квадрат в числителе:

[ 3x^2 - 36 = 3(x^2 - 12) ]

Теперь разобьем числитель на два множителя:

[ \frac{3(x^2 - 12)}{x - 3} ]

Попробуем разложить числитель ( x^2 - 12 ) на множители, используя метод деления многочлена на многочлен. В данном случае это не так тривиально, поэтому мы можем использовать метод подстановки.

Подставим ( x = 3 ) в исходное уравнение:

[ \frac{3^2 - 12}{3 - 3} = \frac{3}{3} - 3 ]

Однако, подстановка ( x = 3 ) приводит к неопределенности (делению на ноль). Следовательно, ( x = 3 ) не является решением уравнения.

Теперь рассмотрим оставшуюся часть уравнения:

[ 3(x + 3) = -2x(x - 3) ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[ 3(x + 3) + 2x(x - 3) = 0 ]

Раскроем скобки:

[ 3x + 9 + 2x^2 - 6x = 0 ]

Соберем все члены уравнения:

[ 2x^2 - 3x + 9 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 - 72 = -63 ]

Поскольку дискриминант ( D ) отрицателен (( D = -63 )), уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение ( \frac{x^2 - 12}{x - 3} = \frac{x}{3} - x ) не имеет действительных решений.

Для решения данного уравнения сначала умножим обе части на 3(x-3), чтобы избавиться от знаменателей:

3(x^2 - 12) = x(x-3) - 3(x-3)

Раскроем скобки:

3x^2 - 36 = x^2 - 3x - 3x + 9

Упростим:

3x^2 - 36 = x^2 - 6x + 9

Перенесем все члены в одну сторону:

3x^2 - x^2 - 6x - 36 - 9 = 0

2x^2 - 6x - 45 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-6)^2 - 42(-45) = 36 + 360 = 396

x = (6 ± √396) / 4

x = (6 ± 2√99) / 4

x = (6 ± 2√(9*11)) / 4

x = (6 ± 6√11) / 4

x1 = (6 + 6√11) / 4 = 3 + 3√11

x2 = (6 - 6√11) / 4 = 3 - 3√11

Итак, корнями уравнения являются x1 = 3 + 3√11 и x2 = 3 - 3√11.

x = 6