Решите уравнение: (x+3)^4+2(x+3)^2-8=0

Для решения данного уравнения, давайте введем замену: y = (x+3)^2.

Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом: y^2 + 2y - 8 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. D = 2^2 - 41(-8) = 4 + 32 = 36.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: y1 = (-2 + √36)/2 = (-2 + 6)/2 = 2, y2 = (-2 - √36)/2 = (-2 - 6)/2 = -4.

Теперь найдем обратную замену: (x+3)^2 = 2 => x+3 = ±√2 => x = -3 ± √2. (x+3)^2 = -4 => x+3 = ±√(-4) => Действительных корней нет.

Таким образом, у нашего уравнения есть два действительных корня: x1 = -3 + √2, x2 = -3 - √2, и два комплексных корня.

Сделаем замену переменной y = (x+3)^2. Тогда уравнение примет вид y^2 + 2y - 8 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем два корня: y1 = -4 и y2 = 2. Подставив обратно x+3 вместо y, получим два уравнения: (x+3)^2 = -4 и (x+3)^2 = 2. Решив их, найдем x1 = -5, x2 = -1, x3 = -2+i√2, x4 = -2-i√2.

Чтобы решить уравнение ((x+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0), удобно сделать замену переменной. Обозначим (y = (x+3)^2). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 + 2y - 8 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно (y), и его можно решить с помощью дискриминанта или другими известными методами решения квадратных уравнений. Начнем с вычисления дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. ]

Дискриминант (D = 36) является положительным, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

1. ( y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 ),
2. ( y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ).

Теперь вернемся к исходной переменной (x). Поскольку (y = (x+3)^2), то:

1. Для (y_1 = 2): [(x+3)^2 = 2.] Решая это уравнение, получаем: [x + 3 = \pm \sqrt{2}.] Отсюда: [x = -3 + \sqrt{2}] или [x = -3 - \sqrt{2}.]

2. Для (y_2 = -4): [(x+3)^2 = -4.] Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, поскольку квадрат выражения не может быть отрицательным в действительных числах.

Итак, уравнение ((x+3)^4 + 2(x+3)^2 - 8 = 0) имеет два действительных решения:

[x = -3 + \sqrt{2}]

и

[x = -3 - \sqrt{2}.]