Решите уравнение x^4=(2x-3)^2

Для решения уравнения ( x^4 = (2x - 3)^2 ) начнем с раскрытия правой части уравнения:

[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ x^4 = 4x^2 - 12x + 9 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ x^4 - 4x^2 + 12x - 9 = 0 ]

Это уравнение является биквадратным, но с дополнительными линейными и константными членами. Попробуем решить его, используя метод подстановки. Пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:

[ y^2 - 4y + 12x - 9 = 0 ]

Однако, это уравнение не является биквадратным из-за наличия линейного члена ( 12x ). Поэтому вернемся к оригинальному уравнению и попробуем найти его корни другим способом.

Рассмотрим возможность разложения на множители. Проверим некоторые очевидные корни, такие как ( x = 1 ) и ( x = -1 ):

1. ( x = 1 ):

[ 1^4 = (2 \cdot 1 - 3)^2 \Rightarrow 1 = 1 ]

( x = 1 ) является корнем уравнения.

1. ( x = -1 ):

[ (-1)^4 = (2 \cdot (-1) - 3)^2 \Rightarrow 1 = 25 ]

( x = -1 ) не является корнем уравнения.

Теперь попробуем разложить многочлен ( x^4 - 4x^2 + 12x - 9 ) на множители, используя найденный корень ( x = 1 ). Для этого воспользуемся схемой Горнера или делением многочленов.

Разделим многочлен ( x^4 - 4x^2 + 12x - 9 ) на ( x - 1 ):

[ x^4 - 4x^2 + 12x - 9 = (x - 1)(x^3 + x^2 - 3x + 9) ]

Теперь решим оставшееся кубическое уравнение ( x^3 + x^2 - 3x + 9 = 0 ). Это можно сделать с помощью различных методов, таких как метод рациональных корней (проб и ошибок) или численное решение, если рациональные корни не находятся легко. Проверим некоторые возможные рациональные корни:

1. ( x = -1 ):

[ (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -1 + 1 + 3 + 9 = 12 \neq 0 ]

1. ( x = -3 ):

[ (-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) + 9 = -27 + 9 + 9 + 9 = 0 ]

( x = -3 ) является корнем уравнения.

Теперь разложим многочлен ( x^3 + x^2 - 3x + 9 ) на множители, используя корень ( x = -3 ):

[ x^3 + x^2 - 3x + 9 = (x + 3)(x^2 - 2) ]

Таким образом, исходное уравнение раскладывается как:

[ (x - 1)(x + 3)(x^2 - 2) = 0 ]

Теперь найдем все корни уравнения:

1. ( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 )
2. ( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 )
3. ( x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} )

Итак, уравнение ( x^4 = (2x - 3)^2 ) имеет четыре корня: ( x = 1 ), ( x = -3 ), ( x = \sqrt{2} ), и ( x = -\sqrt{2} ).

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду:

x^4 = (2x - 3)^2

x^4 = 4x^2 - 12x + 9

Теперь приведем все слагаемые в левой части уравнения к общему знаменателю:

x^4 - 4x^2 + 12x - 9 = 0

Полученное уравнение является квадратным относительно x^2. Для его решения воспользуемся методом замены переменной:

Пусть y = x^2, тогда уравнение примет вид:

y^2 - 4y + 12 - 9 = 0

y^2 - 4y + 3 = 0

Теперь решим данное квадратное уравнение:

D = (-4)^2 - 413 = 16 - 12 = 4

y1,2 = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2

y1 = 3, y2 = 1

Теперь найдем значения x, подставив найденные значения y в уравнение y = x^2:

1. y1 = 3: x^2 = 3 => x = ±√3
2. y2 = 1: x^2 = 1 => x = ±1

Итак, решением уравнения x^4 = (2x - 3)^2 являются четыре значения x: x = √3, -√3, 1, -1.

x=1, x=3