Решите уравнение: x^4-8x^2-9=0
Решите уравнение: x^4-8x^2-9=0
Для решения данного уравнения x^4 - 8x^2 - 9 = 0 можно воспользоваться методом замены переменной. Обозначим x^2 = y, тогда уравнение примет вид y^2 - 8y - 9 = 0.
Далее решим полученное квадратное уравнение для переменной y. Сначала найдем дискриминант D: D = (-8)^2 - 41(-9) = 64 + 36 = 100.
Теперь найдем корни уравнения: y1,2 = (8 ± √100) / 2 = (8 ± 10) / 2. Получаем два корня: y1 = 9 и y2 = -1.
Так как y = x^2, то подставляем найденные значения y обратно: x^2 = 9 и x^2 = -1. Далее извлекаем корни из обеих сторон уравнений: 1) x1 = √9 = 3; 2) x2 = √(-1) = √(-1) * √1 = i.
Таким образом, уравнение x^4 - 8x^2 - 9 = 0 имеет два действительных корня x1 = 3 и x2 = -3, а также два комплексных корня x3 = i и x4 = -i.
Для решения уравнения ( x^4 - 8x^2 - 9 = 0 ), введём новую переменную ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - 8y - 9 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение относительно ( y ). Для этого используем формулу для решения квадратного уравнения ( ay^2 + by + c = 0 ):
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -8 ), и ( c = -9 ). Подставим эти значения в формулу:
[ y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} ] [ y = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} ] [ y = \frac{8 \pm 10}{2} ]
Теперь решим два возможных значения для ( y ):
Поскольку ( y = x^2 ), значение ( y = -1 ) не подходит (так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным). Остаётся только значение ( y = 9 ).
Теперь вернёмся к переменной ( x ):
[ x^2 = 9 ]
Решим это уравнение относительно ( x ):
[ x = \pm \sqrt{9} ] [ x = \pm 3 ]
Таким образом, уравнение имеет два решения:
[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 ]
Ответ: ( x = 3 ) или ( x = -3 ).
