Решите уравнение:(2х-3)²(х-3)=(2х-3)(х-3)²

Для решения данного уравнения раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(2x - 3)^2 * (x - 3) = (2x - 3)(x - 3)^2

(4x^2 - 12x + 9)(x - 3) = (2x - 3)(x^2 - 6x + 9)

4x^3 - 12x^2 + 9x - 12x^2 + 36x - 27 = 2x^3 - 12x^2 + 18x - 3x^2 + 18x - 27

4x^3 - 24x^2 + 9x + 36x - 27 = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 27

4x^3 - 24x^2 + 45x - 27 = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 27

4x^3 - 24x^2 + 45x - 27 - 2x^3 + 15x^2 - 36x + 27 = 0

2x^3 - 9x^2 + 9x = 0

x(2x^2 - 9x + 9) = 0

x = 0 или 2x^2 - 9x + 9 = 0

Далее можно решить квадратное уравнение 2x^2 - 9x + 9 = 0 с помощью дискриминанта, формулы корней и т.д.

Для решения данного уравнения начнем с упрощения его структуры. Уравнение имеет вид:

[(2x-3)^2(x-3) = (2x-3)(x-3)^2.]

Первым шагом можно раскрыть скобки для упрощения:

[(2x-3)(2x-3)(x-3) = (2x-3)(x-3)(x-3).]

Теперь мы видим, что обе стороны уравнения имеют общий множитель ((2x-3)(x-3)). Разделим обе стороны уравнения на этот множитель (при условии, что ((2x-3) \neq 0) и ((x-3) \neq 0)):

[(2x-3)(x-3) = (x-3)(x-3).]

После деления получаем:

[2x-3 = x-3.]

Решим это уравнение:

[2x - x = -3 + 3,] [x = 0.]

Теперь вернемся к случаю, когда один из множителей может быть равен нулю. Заметим, что если ((2x-3) = 0), то:

[2x - 3 = 0,] [2x = 3,] [x = \frac{3}{2}.]

Если ((x-3) = 0), то:

[x - 3 = 0,] [x = 3.]

Итак, у нас есть три решения: (x = 0), (x = \frac{3}{2}), и (x = 3).

Проверим каждое из этих решений в исходном уравнении:

1. (x = 0): [(2 \times 0 - 3)^2(0 - 3) = (2 \times 0 - 3)(0 - 3)^2,] [(-3)^2(-3) = (-3)(-3)^2,] [9 \times (-3) = (-3) \times 9,] [-27 = -27,] (верно)

2. (x = \frac{3}{2}): [(2 \times \frac{3}{2} - 3)^2(\frac{3}{2} - 3) = (2 \times \frac{3}{2} - 3)(\frac{3}{2} - 3)^2,] [(0)^2(-\frac{3}{2}) = (0)(-\frac{3}{2})^2,] [0 = 0,] (верно)

3. (x = 3): [(2 \times 3 - 3)^2(3 - 3) = (2 \times 3 - 3)(3 - 3)^2,] [(3)^2(0) = (3)(0)^2,] [0 = 0,] (верно)

Таким образом, все три значения (x = 0), (x = \frac{3}{2}), и (x = 3) являются решениями исходного уравнения.