Решите уровнение: sin x =√2/2

Для решения уравнения sin x = √2/2 нужно найти все значения угла х, для которых синус этого угла равен √2/2. Так как синус угла равен значению противоположной стороны прямоугольного треугольника, поделенной на гипотенузу, можно вспомнить, что sin(π/4) = √2/2.

Таким образом, уравнение sin x = √2/2 имеет бесконечное множество решений в виде x = π/4 + 2πn, где n - целое число. То есть все углы, которые отличаются друг от друга на 2π, будут решениями данного уравнения.

Для решения уравнения (\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}), нам нужно определить все значения (x), при которых синус принимает значение (\frac{\sqrt{2}}{2}).

Значение (\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам, которые находятся на окружности, где синус равен (\frac{\sqrt{2}}{2}). Это происходит в следующих точках:

1. (x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k)
2. (x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)

где (k) — любое целое число, представляющее количество полных оборотов на тригонометрической окружности.

Давайте разберёмся, почему именно эти значения.

1. Угол (\frac{\pi}{4}) (или 45 градусов) — это угол, при котором синус равен (\frac{\sqrt{2}}{2}). Это соответствует первому квадранту тригонометрической окружности.
2. Угол (\frac{3\pi}{4}) (или 135 градусов) — это угол, при котором синус также равен (\frac{\sqrt{2}}{2}), но он находится во втором квадранте, где синус также положителен.

Таким образом, общее решение уравнения (\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}) записывается в виде:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k ]

где (k \in \mathbb{Z}).

Эти выражения охватывают все возможные решения уравнения, поскольку учитывают периодичность функции синуса, которая равна (2\pi).