Розвяжить уравнения (x+1)(x-2)-(4x-3)(x+5)=x(x-9)

Розв'яжемо рівняння ((x+1)(x-2) - (4x-3)(x+5) = x(x-9)).

Спершу розкриємо дужки в кожному з виразів:

1. ((x+1)(x-2)): [ (x+1)(x-2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 ]

2. ((4x-3)(x+5)): [ (4x-3)(x+5) = 4x \cdot x + 4x \cdot 5 - 3 \cdot x - 3 \cdot 5 = 4x^2 + 20x - 3x - 15 = 4x^2 + 17x - 15 ]

3. (x(x-9)): [ x(x-9) = x^2 - 9x ]

Тепер підставимо ці вирази у початкове рівняння:

[ (x^2 - x - 2) - (4x^2 + 17x - 15) = x^2 - 9x ]

Розкриємо дужки і спростимо вирази:

[ x^2 - x - 2 - 4x^2 - 17x + 15 = x^2 - 9x ]

Зведемо подібні члени лівої частини:

[ x^2 - 4x^2 - x - 17x - 2 + 15 = x^2 - 9x ] [ -3x^2 - 18x + 13 = x^2 - 9x ]

Перенесемо всі члени на одну сторону, щоб отримати рівняння з нулем праворуч:

[ -3x^2 - 18x + 13 - x^2 + 9x = 0 ] [ -4x^2 - 9x + 13 = 0 ]

Маємо квадратне рівняння:

[ -4x^2 - 9x + 13 = 0 ]

Для розв'язання квадратного рівняння використаємо формулу квадратного рівняння: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашому випадку: [ a = -4, \, b = -9, \, c = 13 ]

Обчислимо дискримінант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-9)^2 - 4(-4)(13) ] [ D = 81 + 208 ] [ D = 289 ]

Враховуючи, що ( D ) додатний, рівняння має два різних дійсних корені:

[ x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{289}}{2(-4)} ] [ x = \frac{9 \pm 17}{-8} ]

Обчислимо корені:

1. ( x_1 = \frac{9 + 17}{-8} = \frac{26}{-8} = -\frac{13}{4} )
2. ( x_2 = \frac{9 - 17}{-8} = \frac{-8}{-8} = 1 )

Отже, розв'язками рівняння є ( x = -\frac{13}{4} ) та ( x = 1 ).

x = -6

Для начала раскроем скобки:

(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2

(4x-3)(x+5) = 4x^2 + 20x - 3x - 15 = 4x^2 + 17x - 15

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

(x^2 - x - 2) - (4x^2 + 17x - 15) = x(x-9)

x^2 - x - 2 - 4x^2 - 17x + 15 = x^2 - 9x

-x^2 - 18x + 13 = x^2 - 9x

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 9x - x^2 - 18x - 13 = 0

-27x - 13 = 0

-27x = 13

x = -13/27

Таким образом, корень уравнения равен x = -13/27.