Sin 2x > 1/2 решите неравенство

Для решения неравенства sin(2x) > 1/2, мы должны рассмотреть значения угла 2x, для которых синус больше 1/2.

Сначала найдем значения угла, для которых sin(2x) = 1/2. Это происходит при углах, для которых sin(2x) = sin(π/6) или sin(2x) = sin(5π/6), так как sin(π/6) = 1/2 и sin(5π/6) = 1/2.

Таким образом, мы получаем два диапазона значений угла 2x: 1) 2x = π/6 + 2πn, где n - целое число 2) 2x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число

Теперь нам нужно определить, в каких интервалах угла 2x sin(2x) будет больше 1/2. Это происходит в интервалах, где sin(2x) находится между 1/2 и 1.

Таким образом, решение неравенства sin(2x) > 1/2: 2x принадлежит интервалам (π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn) и (7π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn), где n - целое число.

Рассмотрим неравенство: (\sin 2x > \frac{1}{2}).

Для решения этого неравенства нам необходимо найти такие значения (2x), для которых значение синуса больше (\frac{1}{2}). Начнем с определения интервалов для (\sin y > \frac{1}{2}), где (y = 2x).

1. Для синуса значение (\frac{1}{2}) соответствует углам (\frac{\pi}{6}) и (\frac{5\pi}{6}) в интервале от (0) до (2\pi): [ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}. ]

2. Синус положителен и больше (\frac{1}{2}) в интервалах: [ \frac{\pi}{6} < y < \frac{5\pi}{6} \quad \text{и} \quad \frac{2\pi + \pi}{6} < y < \frac{2\pi + 5\pi}{6}. ]

3. Таким образом, для (y) (т.е. (2x)) у нас есть интервалы: [ \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{5\pi}{6} \quad \text{и} \quad \frac{2\pi + \pi}{6} < 2x < \frac{2\pi + 5\pi}{6}. ]

4. Теперь найдем общие решения для (2x) с учетом периодичности функции синуса: [ \frac{\pi}{6} + 2k\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \frac{7\pi}{6} + 2k\pi < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

5. Разделим каждое неравенство на 2, чтобы выразить (x): [ \frac{\pi}{12} + k\pi < x < \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad \text{и} \quad \frac{7\pi}{12} + k\pi < x < \frac{11\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Итак, общий вид решения для (x) будет:

[ x \in \left( \frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Это решение описывает все значения (x), при которых (\sin 2x > \frac{1}{2}).