Sin π( x-3)/3=-√(3)/2 Найдите наибольший отрицательный корень. Напишите, пожалуйста, вначале общие формулы,...

Рассмотрим уравнение:

[ \sin \left( \frac{\pi (x-3)}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Чтобы найти ( x ), сначала определим, при каких углах синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}).

Синус угла равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}) при углах (\frac{4\pi}{3} + 2k\pi) и (\frac{5\pi}{3} + 2k\pi), где ( k ) — любое целое число.

Запишем это в виде уравнений:

[ \frac{\pi (x-3)}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ] [ \frac{\pi (x-3)}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ]

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Для первого уравнения:

[ \frac{\pi (x-3)}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ]

Умножим обе части на 3/(\pi):

[ x - 3 = 4 + 6k ]

[ x = 7 + 6k ]

1. Для второго уравнения:

[ \frac{\pi (x-3)}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ]

Умножим обе части на 3/(\pi):

[ x - 3 = 5 + 6k ]

[ x = 8 + 6k ]

Теперь у нас есть два семейства решений: ( x = 7 + 6k ) и ( x = 8 + 6k ).

Ищем наибольший отрицательный корень. Подставим различные значения ( k ) и проверим, когда ( x ) будет отрицательным.

Для первого семейства ( x = 7 + 6k ):

• При ( k = -2 ):

[ x = 7 + 6(-2) = 7 - 12 = -5 ]

• При ( k = -1 ):

[ x = 7 + 6(-1) = 7 - 6 = 1 ] (не подходит, так как положительный)

Для второго семейства ( x = 8 + 6k ):

• При ( k = -2 ):

[ x = 8 + 6(-2) = 8 - 12 = -4 ]

• При ( k = -1 ):

[ x = 8 + 6(-1) = 8 - 6 = 2 ] (не подходит, так как положительный)

Таким образом, наибольший отрицательный корень для первого семейства решений ( x = 7 + 6k ) и второго семейства решений ( x = 8 + 6k ) — это (-4), так как он больше, чем (-5).

Ответ: наибольший отрицательный корень — ( x = -4 ).

Для начала, используем формулу синуса для разности углов: sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) Также, воспользуемся формулой синуса для угла в 3π: sin(3π) = 0

Теперь подставляем данные в уравнение: sin(π(x-3)/3) = sin(π/3)cos(πx/3) - cos(π/3)sin(πx/3) = -√3/2 cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 Тогда уравнение примет вид: (√3/2)(1/2)cos(πx/3) - (1/2)(√3/2)sin(πx/3) = -√3/2 Упростим: cos(πx/3) - sin(πx/3) = -1 cos(πx/3 - π/4) = -1 πx/3 - π/4 = π + 2πk, k - целое число

Теперь найдем корни уравнения: πx/3 - π/4 = π + 2πk πx/3 = 3π/4 + π + 2πk πx = 9π/4 + 3π + 6πk x = 9/4 + 3 + 6k

Наибольший отрицательный корень будет при k = -1: x = 9/4 + 3 + 6(-1) = 9/4 + 3 - 6 = -15/4

Итак, наибольший отрицательный корень уравнения sin(π(x-3)/3) = -√3/2 равен -15/4.