Sin x = 0, 5 корень из двух

Рассмотрим уравнение ( \sin x = 0.5 \sqrt{2} ). Давайте разберем его подробно.

1. Понимание значения ( \sin x )

Функция синуса возвращает значение, которое определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике или как ордината точки на единичной окружности. Значение ( \sin x = 0.5 \sqrt{2} ) нужно интерпретировать в этом контексте.

Число ( 0.5 \sqrt{2} ) можно записать как ( \frac{\sqrt{2}}{2} ). Это значение хорошо известно в тригонометрии, так как оно соответствует определенным углам.

2. Углы, при которых ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} )

Из таблиц тригонометрических функций или единичной окружности известно, что ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) достигается при углах ( x = \frac{\pi}{4} ) (45°) и ( x = \frac{3\pi}{4} ) (135°) в пределах одного оборота ( [0, 2\pi] ).

Но синус — это периодическая функция, которая повторяется с периодом ( 2\pi ). Следовательно, общая формула для всех решений будет следующей:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ]

где ( n ) — любое целое число, которое определяет номер цикла.

3. Анализ на единичной окружности

На единичной окружности ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) соответствует точкам, где ордината равна ( \frac{\sqrt{2}}{2} ). Это происходит в первой и второй четвертях окружности:

• В первой четверти угол ( x = \frac{\pi}{4} );
• Во второй четверти угол ( x = \frac{3\pi}{4} ).

Эти два угла являются базовыми решениями, от которых можно "наращивать" другие решения, добавляя или вычитая полный оборот ( 2\pi ).

4. Итоговое обобщение

Все решения уравнения ( \sin x = 0.5 \sqrt{2} ) имеют вид:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Это обобщенная форма, которая описывает все углы, где синус равен заданному значению.

Чтобы решить уравнение (\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{2}), сначала упростим правую часть. Мы знаем, что (\frac{1}{2} \sqrt{2} \approx 0.707). Теперь, чтобы найти (x), вспомним, что синус принимает значение (\frac{1}{2}) в определенных углах.

Для начала определим углы, при которых синус равен (\frac{1}{2}):

1. В первом квадранте: [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ]
2. Во втором квадранте: [ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] где (k) — любое целое число, обозначающее количество полных оборотов вокруг единичной окружности.

Теперь, чтобы выразить решение для (\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{2}), мы можем использовать аналогичные подходы, если бы мы искали угол, для которого синус равен (\frac{1}{2}). Однако, в нашем случае (\frac{1}{2} \sqrt{2}) не является стандартным значением синуса для углов, поэтому мы уточним, что (\frac{1}{2} \sqrt{2}) соответствует углу, который нам нужно найти.

Сравним с известными значениями: [ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 ] Таким образом, мы видим, что (\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{2}) эквивалентно (\sin x = \sin \frac{\pi}{4}).

Теперь мы можем записать полное решение:

1. Угол, при котором синус равен (\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) — любое целое число.

Таким образом, окончательное решение уравнения (\sin x = \frac{1}{2} \sqrt{2}) будет: [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]