Sin^2 альфа + sin(пи-альфа) cos(пи/2-альфа)/tg(пи+альфа)ctg(3пи/2-альфа)

Для раскрытия данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. sin(пи - альфа) = sin(пи)cos(альфа) - cos(пи)sin(альфа) = 0 - (-sin(альфа)) = sin(альфа);

2. cos(пи/2 - альфа) = cos(пи/2)cos(альфа) + sin(пи/2)sin(альфа) = 0 cos(альфа) + 1 sin(альфа) = sin(альфа);

3. tg(пи + альфа) = tg(пи) = 0;

4. ctg(3пи/2 - альфа) = ctg(пи/2 + пи - альфа) = -ctg(пи/2 - альфа) = -1/tg(пи/2 - альфа) = -1/sin(альфа).

Теперь заменим полученные значения в исходном выражении:

sin^2(альфа) + sin(альфа) * sin(альфа) / sin(альфа) = sin^2(альфа) + sin(альфа)

Таким образом, результат упрощенного выражения равен sin^2(альфа) + sin(альфа).

Давайте разберём данное выражение шаг за шагом:

1. sin²(α): Это просто квадрат синуса угла α.

2. sin(π - α): По формуле приведения, sin(π - α) = sin(α).

3. cos(π/2 - α): Это равняется sin(α) по определению косинуса угла (формула приведения).

4. tg(π + α): По формуле приведения, tg(π + α) = tg(α).

5. ctg(3π/2 - α): По формуле приведения, ctg(3π/2 - α) = -tg(α).

Теперь подставим всё в исходное выражение:

[ \sin^2(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) / (\tg(\alpha) \cdot (-\tg(\alpha))). ]

Это упрощается до:

[ \sin^2(\alpha) + \frac{\sin^2(\alpha)}{-\tg^2(\alpha)}. ]

Теперь вспоминаем, что (\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}), следовательно (\tg^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}).

Подставим это в выражение:

[ \sin^2(\alpha) + \frac{\sin^2(\alpha)}{-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}. ]

Упростим:

[ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha). ]

Используя основное тригонометрическое тождество (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1), мы можем выразить (\cos^2(\alpha)) как (1 - \sin^2(\alpha)).

Подставим это:

[ \sin^2(\alpha) - (1 - \sin^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - 1 + \sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha) - 1. ]

Таким образом, конечное выражение: (2\sin^2(\alpha) - 1), которое также можно записать как (\cos(2\alpha)) по формуле удвоенного угла.

sin^2(альфа) + cos^2(альфа) = 1