Sin2x + sin 6x= cos2x

Для решения уравнения ( \sin 2x + \sin 6x = \cos 2x ) можно использовать тригонометрические преобразования. Давайте подробно разберем, как это сделать.

1. Используем формулы приведения.

   Начнем с формулы для суммы синусов: [ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right). ]

   Применим это к (\sin 2x + \sin 6x): [ \sin 2x + \sin 6x = 2 \sin \left( \frac{2x + 6x}{2} \right) \cos \left( \frac{6x - 2x}{2} \right) = 2 \sin 4x \cos 2x. ]

2. Подставляем в уравнение:

   Теперь уравнение принимает вид: [ 2 \sin 4x \cos 2x = \cos 2x. ]

3. Рассмотрим случаи:

   Для решения уравнения нам нужно рассмотреть два случая.

   • Случай 1: (\cos 2x = 0).

     Если (\cos 2x = 0), то: [ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ] Отсюда: [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}. ]

   • Случай 2: (2 \sin 4x = 1).

     Если (\cos 2x \neq 0), можно обе части уравнения разделить на (\cos 2x): [ 2 \sin 4x = 1. ] Отсюда: [ \sin 4x = \frac{1}{2}. ]

     Решение уравнения (\sin 4x = \frac{1}{2}) следующее: [ 4x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{или} \quad 4x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ] Соответственно, находим (x): [ x = \frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}. ]

4. Ответ:

   Решение уравнения ( \sin 2x + \sin 6x = \cos 2x ) состоит из объединения решений обоих случаев: [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ] и [ x = \frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Таким образом, мы нашли все возможные значения (x), удовлетворяющие заданному тригонометрическому уравнению.

sin2x + sin 6x = cos2x

sin2x + sin(2x + 4x) = cos2x

sin2x + (sin2x cos4x + cos2x sin4x) = cos2x

sin2x + sin2x cos4x + cos2x sin4x = cos2x

sin2x + sin2x cos4x = cos2x - cos2x sin4x

sin2x(1 + cos4x) = cos2x(1 - sin4x)

sin2x = (cos2x * (1 - sin4x)) / (1 + cos4x)

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться формулой суммы тригонометрических функций: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим данную формулу к уравнению sin2x + sin 6x = cos2x: sin(2x + 6x) = sin(2x)cos(6x) + cos(2x)sin(6x) sin(8x) = sin(2x)cos(6x) + cos(2x)sin(6x)

Теперь разложим sin(8x) на две составляющие: sin(8x) = sin(2x + 6x) = sin(2x)cos(6x) + cos(2x)sin(6x)

Полученное уравнение совпадает с исходным, следовательно, данное уравнение верно для всех значений x.