Sina=-5/13 ПИ <альфа< 3ПИ/2 найти cosa tga ctga и sin2a

cosa = -sqrt(1 - sin^2(a)) = -sqrt(1 - (-5/13)^2) = -12/13 tga = sina/cosa = (-5/13)/(-12/13) = 5/12 ctga = 1/tga = 12/5 sin(2a) = 2sina cosa = 2(-5/13)(-12/13) = 120/169

Дано, что sin(α) = -5/13 и α принадлежит интервалу (π, 3π/2).

1. Найдем cos(α): Используя тригонометрическое тождество sin^2(α) + cos^2(α) = 1, подставим данное значение sin(α): (-5/13)^2 + cos^2(α) = 1 25/169 + cos^2(α) = 1 cos^2(α) = 144/169 cos(α) = ±12/13

Так как α принадлежит 3-му квадранту, то cos(α) отрицательный: cos(α) = -12/13

1. Найдем tg(α): tg(α) = sin(α) / cos(α) = (-5/13) / (-12/13) = 5/12

2. Найдем ctg(α): ctg(α) = 1 / tg(α) = 12/5

3. Найдем sin(2α): sin(2α) = 2sin(α)cos(α) sin(2α) = 2(-5/13)(-12/13) sin(2α) = 120/169

Давайте начнем с того, что нам известно о угле (\alpha): [ \sin \alpha = -\frac{5}{13} ] Также нам дан диапазон для угла: [ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ] Этот диапазон соответствует третьей четверти, где синус отрицателен, а косинус отрицателен. Поскольку (\sin \alpha = -\frac{5}{13}), необходимо найти (\cos \alpha), (\tan \alpha), (\cot \alpha) и (\sin 2\alpha).

1. Находим (\cos \alpha)

Из основного тригонометрического тождества: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Подставим известное значение (\sin \alpha): [ \left(-\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} ] [ \cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} ] [ \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} ] Так как (\cos \alpha) в третьей четверти отрицателен, то: [ \cos \alpha = -\frac{12}{13} ]

2. Находим (\tan \alpha)

(\tan \alpha) определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ] Подставим найденные значения: [ \tan \alpha = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} ]

3. Находим (\cot \alpha)

(\cot \alpha) - это обратное значение (\tan \alpha): [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{12}{5} ]

4. Находим (\sin 2\alpha)

Используем формулу двойного угла для синуса: [ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha ] Подставим найденные значения: [ \sin 2\alpha = 2 \left(-\frac{5}{13}\right) \left(-\frac{12}{13}\right) ] [ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{60}{169} ] [ \sin 2\alpha = \frac{120}{169} ]

Итоговые значения

1. (\cos \alpha = -\frac{12}{13})
2. (\tan \alpha = \frac{5}{12})
3. (\cot \alpha = \frac{12}{5})
4. (\sin 2\alpha = \frac{120}{169})

Таким образом, мы нашли все требуемые тригонометрические функции для угла (\alpha).