sin(a-b)+2cosasinb/2cosacosb-cos(a-b)
sin(a-b)+2cosasinb/2cosacosb-cos(a-b)
Для раскрытия данного выражения используем формулы вычитания и сложения тригонометрических функций: sin(a - b) = sinacosb - cosasinb cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
Подставляем эти значения в исходное выражение: sinacosb - cosasinb + 2cosasinb / 2cosacosb - cosacosb - sinasinb
Далее упрощаем выражение: sinacosb - cosasinb + 2sinb / 2cosb - cosacosb - sinasinb = sinacosb - cosasinb + sinb / cosb - cosacosb - sinasinb = (sinacosb - cosasinb) / (cosb - cosa) - sinasinb = sin(a - b) / cos(a - b) - sinasinb = tan(a - b) - sina*sinb
Таким образом, раскрытое выражение равно tan(a - b) - sina*sinb.
Для того чтобы упростить данное выражение, использующее тригонометрические функции, применим несколько тригонометрических тождеств и преобразований.
Дано выражение:
[ \frac{\sin(a-b) + 2\cos(a)\sin(b)}{2\cos(a)\cos(b) - \cos(a-b)} ]
В числителе у нас есть (\sin(a-b) + 2\cos(a)\sin(b)). Применим формулу разности синусов:
[ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) ]
Подставим это в числитель:
[ \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) + 2\cos(a)\sin(b) ]
Сгруппируем по (\sin(b)):
[ \sin(a)\cos(b) + \sin(b)(2\cos(a) - \cos(a)) ]
Упрощаем:
[ \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a) ]
Теперь разберём знаменатель: (2\cos(a)\cos(b) - \cos(a-b)).
Используем формулу для разности косинусов:
[ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) ]
Подставим это в знаменатель:
[ 2\cos(a)\cos(b) - (\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)) ]
Упрощаем:
[ \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) ]
Теперь у нас есть упрощённое выражение:
[ \frac{\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)} ]
Заметим, что числитель представляет собой формулу суммы синусов:
[ \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) = \sin(a + b) ]
А знаменатель представляет собой формулу суммы косинусов:
[ \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b) ]
Таким образом, выражение упрощается до:
[ \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \tan(a+b) ]
Итак, данное выражение равно (\tan(a+b)).
