Sinx * cosx + 2sin^2x=cos^2x

Давайте решим уравнение

[ \sin{x} \cdot \cos{x} + 2\sin^2{x} = \cos^2{x}. ]

Для начала упростим данное уравнение. Напомним, что основное тригонометрическое тождество гласит:

[ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1. ]

Используя это тождество, мы можем выразить (\cos^2{x}) через (\sin^2{x}):

[ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}. ]

Подставим это в наше уравнение:

[ \sin{x} \cdot \cos{x} + 2\sin^2{x} = 1 - \sin^2{x}. ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ \sin{x} \cdot \cos{x} + 2\sin^2{x} - 1 + \sin^2{x} = 0. ]

Объединим подобные члены:

[ \sin{x} \cdot \cos{x} + 3\sin^2{x} - 1 = 0. ]

Заметим, что (\sin{x} \cdot \cos{x} = \frac{1}{2} \sin{2x}). Перепишем уравнение:

[ \frac{1}{2} \sin{2x} + 3\sin^2{x} - 1 = 0. ]

Это уравнение может быть сложно решить в общем виде, поэтому попробуем найти его решение путем подбора или анализа.

Рассмотрим частные случаи:

1. Если (\sin{x} = 0), то (\sin^2{x} = 0), и уравнение упрощается до:

   [ 0 + 3 \cdot 0 - 1 = -1 \neq 0. ]

   Таким образом, (\sin{x} = 0) не является решением.

2. Если (\cos{x} = 0), то уравнение упрощается до:

   [ 0 + 3\sin^2{x} - 1 = 0. ]

   Отсюда (3\sin^2{x} = 1), значит, (\sin^2{x} = \frac{1}{3}). Это возможно, если (\sin{x} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}).

Теперь, если рассмотреть (\sin{x} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}), нужно проверить, будет ли это условие удовлетворять исходному уравнению с учетом того, что (\cos{x} = 0). Для этого случая (\cos{x} = 0), что соответствует (x = \frac{\pi}{2} + k\pi), где (k \in \mathbb{Z}).

Таким образом, решения уравнения будут при (\sin{x} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}) и (\cos{x} = 0), что не противоречит основному требованию уравнения.

Таким образом, основное решение уравнения будет:

[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Эти значения (x) являются решениями исходного тригонометрического уравнения.

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Первым шагом мы можем заменить sin^2x на 1 - cos^2x и cos^2x на 1 - sin^2x. Получим следующее уравнение:

sinx * cosx + 2(1 - cos^2x) = 1 - sin^2x

Далее раскроем скобки и преобразуем уравнение:

sinx * cosx + 2 - 2cos^2x = 1 - sin^2x

Заменим sinx cosx на 0.5 sin2x и cos^2x на 0.5 * (1 + cos2x):

0.5 sin2x + 2 - 2 0.5 * (1 + cos2x) = 1 - sin^2x

0.5 * sin2x + 2 - (1 + cos2x) = 1 - sin^2x

0.5 * sin2x + 2 - 1 - cos2x = 1 - sin^2x

0.5 * sin2x - cos2x + 1 = 1 - sin^2x

Теперь можем воспользоваться тригонометрическими формулами для sin2x и cos2x:

sin2x = 2sinx * cosx cos2x = 2cos^2x - 1

Подставим их в уравнение:

0.5 2sinx cosx - (2cos^2x - 1) + 1 = 1 - sin^2x

sinx * cosx - 2cos^2x + 1 + 1 = 1 - sin^2x

sinx * cosx - 2cos^2x + 2 = 1 - sin^2x

Таким образом, мы получили расширенный ответ на данное уравнение, используя тригонометрические тождества и формулы для sin2x и cos2x.

sin(x) cos(x) + 2sin^2(x) = cos^2(x) равносильно sin(x) cos(x) + 2sin^2(x) - cos^2(x) = 0.