Система x^2 + y^2 = 10 xy =3

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Подставим выражение xy=3 в первое уравнение: x^2 + $3/x$^2 = 10. Упростим уравнение, приведя его к виду x^4 - 10x^2 + 9 = 0. Решив это квадратное уравнение относительно x^2, получим два корня: x^2 = 1 и x^2 = 9. Отсюда находим значения переменных x и y.

1) x^2 = 1: x = ±1, y = 3/1 = 3. 2) x^2 = 9: x = ±3, y = 3/3 = 1.

Таким образом, система имеет два решения: $1,3$ и $-1,-3$, $3,1$ и $-3,-1$.

Для решения системы уравнений: $x^2+y^2=10$ $xy=3$

можно воспользоваться различными методами. Один из эффективных способов — это использование замены переменных, а также теоремы о симметрических функциях корней.

1. Замена переменных и переход к уравнению четвертой степени:

Начнем с выражения для суммы $S$ и произведения $P$ корней. Пусть $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2-St+P=0$. Тогда: $S=x+y$ $P=xy$

Из условия задачи $P=3$. Нам нужно найти $S$. Используем первое уравнение системы: $x^2+y^2=10$

Вспомним формулу: $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

Подставим известные значения: $10=S^2-2\cdot 3$ $10=S^2-6$

Отсюда следует: $S^2=16$ $S=\pm 4$

Теперь у нас есть два случая:

1. $S=4$
2. $S=-4$

Рассмотрим оба случая.

1. Нахождение корней для $S=4$:

Подставим значения $S$ и $P$ в квадратное уравнение: $t^2-4t+3=0$

Решим это уравнение: $t=\frac{4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 3}}{2}$ $t=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}$ $t=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}$ $t=\frac{4\pm 2}{2}$

Получаем корни: $t_1=\frac{4+2}{2}=3$ $t_2=\frac{4-2}{2}=1$

То есть, $x$ и $y$ могут быть 3 и 1.

1. Нахождение корней для $S=-4$:

Подставим значения $S$ и $P$ в квадратное уравнение: $t^2+4t+3=0$

Решим это уравнение: $t=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 3}}{2}$ $t=\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}$ $t=\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}$ $t=\frac{-4\pm 2}{2}$

Получаем корни: $t_1=\frac{-4+2}{2}=-1$ $t_2=\frac{-4-2}{2}=-3$

То есть, $x$ и $y$ могут быть -1 и -3.

Таким образом, система уравнений имеет следующие решения: $(x,y)=(3,1),(1,3),(-1,-3),(-3,-1)$

Эти решения удовлетворяют обеим уравнениям системы.