Система x^2 + y^2 = 10 xy =3

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
система уравнений круг эллипс квадратное уравнение нелинейное уравнение пересечение графиков математика аналитическая геометрия
0

Система x^2 + y^2 = 10 xy =3

avatar
задан 8 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Подставим выражение xy=3 в первое уравнение: x^2 + 3/x^2 = 10. Упростим уравнение, приведя его к виду x^4 - 10x^2 + 9 = 0. Решив это квадратное уравнение относительно x^2, получим два корня: x^2 = 1 и x^2 = 9. Отсюда находим значения переменных x и y.

1) x^2 = 1: x = ±1, y = 3/1 = 3. 2) x^2 = 9: x = ±3, y = 3/3 = 1.

Таким образом, система имеет два решения: 1,3 и 1,3, 3,1 и 3,1.

avatar
ответил 8 месяцев назад
0

Для решения системы уравнений: x2+y2=10 xy=3

можно воспользоваться различными методами. Один из эффективных способов — это использование замены переменных, а также теоремы о симметрических функциях корней.

  1. Замена переменных и переход к уравнению четвертой степени:

Начнем с выражения для суммы S и произведения P корней. Пусть x и y — корни квадратного уравнения t2St+P=0. Тогда: S=x+y P=xy

Из условия задачи P=3. Нам нужно найти S. Используем первое уравнение системы: x2+y2=10

Вспомним формулу: x2+y2=(x+y)22xy

Подставим известные значения: 10=S223 10=S26

Отсюда следует: S2=16 S=±4

Теперь у нас есть два случая:

  1. S=4
  2. S=4

Рассмотрим оба случая.

  1. Нахождение корней для S=4:

Подставим значения S и P в квадратное уравнение: t24t+3=0

Решим это уравнение: t=4±42432 t=4±16122 t=4±42 t=4±22

Получаем корни: t1=4+22=3 t2=422=1

То есть, x и y могут быть 3 и 1.

  1. Нахождение корней для S=4:

Подставим значения S и P в квадратное уравнение: t2+4t+3=0

Решим это уравнение: t=4±42432 t=4±16122 t=4±42 t=4±22

Получаем корни: t1=4+22=1 t2=422=3

То есть, x и y могут быть -1 и -3.

Таким образом, система уравнений имеет следующие решения: (x,y)=(3,1),(1,3),(1,3),(3,1)

Эти решения удовлетворяют обеим уравнениям системы.

avatar
ответил 8 месяцев назад

Ваш ответ