Для решения системы уравнений:
можно воспользоваться различными методами. Один из эффективных способов — это использование замены переменных, а также теоремы о симметрических функциях корней.
- Замена переменных и переход к уравнению четвертой степени:
Начнем с выражения для суммы и произведения корней. Пусть и — корни квадратного уравнения . Тогда:
Из условия задачи . Нам нужно найти . Используем первое уравнение системы:
Вспомним формулу:
Подставим известные значения:
Отсюда следует:
Теперь у нас есть два случая:
Рассмотрим оба случая.
- Нахождение корней для :
Подставим значения и в квадратное уравнение:
Решим это уравнение:
Получаем корни:
То есть, и могут быть 3 и 1.
- Нахождение корней для :
Подставим значения и в квадратное уравнение:
Решим это уравнение:
Получаем корни:
То есть, и могут быть -1 и -3.
Таким образом, система уравнений имеет следующие решения:
Эти решения удовлетворяют обеим уравнениям системы.