Система x^2 + y^2 = 10 xy =3

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Подставим выражение xy=3 в первое уравнение: x^2 + (3/x)^2 = 10. Упростим уравнение, приведя его к виду x^4 - 10x^2 + 9 = 0. Решив это квадратное уравнение относительно x^2, получим два корня: x^2 = 1 и x^2 = 9. Отсюда находим значения переменных x и y.

1) x^2 = 1: x = ±1, y = 3/1 = 3. 2) x^2 = 9: x = ±3, y = 3/3 = 1.

Таким образом, система имеет два решения: (1, 3) и (-1, -3), (3, 1) и (-3, -1).

Для решения системы уравнений: [ x^2 + y^2 = 10 ] [ xy = 3 ]

можно воспользоваться различными методами. Один из эффективных способов — это использование замены переменных, а также теоремы о симметрических функциях корней.

1. Замена переменных и переход к уравнению четвертой степени:

Начнем с выражения для суммы (S) и произведения (P) корней. Пусть ( x ) и ( y ) — корни квадратного уравнения ( t^2 - St + P = 0 ). Тогда: [ S = x + y ] [ P = xy ]

Из условия задачи ( P = 3 ). Нам нужно найти ( S ). Используем первое уравнение системы: [ x^2 + y^2 = 10 ]

Вспомним формулу: [ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy ]

Подставим известные значения: [ 10 = S^2 - 2 \cdot 3 ] [ 10 = S^2 - 6 ]

Отсюда следует: [ S^2 = 16 ] [ S = \pm 4 ]

Теперь у нас есть два случая:

1. ( S = 4 )
2. ( S = -4 )

Рассмотрим оба случая.

1. Нахождение корней для ( S = 4 ):

Подставим значения ( S ) и ( P ) в квадратное уравнение: [ t^2 - 4t + 3 = 0 ]

Решим это уравнение: [ t = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3}}{2} ] [ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} ] [ t = \frac{4 \pm 2}{2} ]

Получаем корни: [ t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 ] [ t_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 ]

То есть, ( x ) и ( y ) могут быть 3 и 1.

1. Нахождение корней для ( S = -4 ):

Подставим значения ( S ) и ( P ) в квадратное уравнение: [ t^2 + 4t + 3 = 0 ]

Решим это уравнение: [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3}}{2} ] [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} ] [ t = \frac{-4 \pm 2}{2} ]

Получаем корни: [ t_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 ] [ t_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 ]

То есть, ( x ) и ( y ) могут быть -1 и -3.

Таким образом, система уравнений имеет следующие решения: [ (x, y) = (3, 1), (1, 3), (-1, -3), (-3, -1) ]

Эти решения удовлетворяют обеим уравнениям системы.