Сколько корней имеет уравнение -0,5x^4=x-4? (Если можно то с решением) (9 класс)

Для нахождения количества корней уравнения (-0,5x^4 = x - 4), сделаем следующее:

1. Приведем уравнение к стандартному виду: [ -0,5x^4 - x + 4 = 0 ]

2. Рассмотрим функцию ( f(x) = -0,5x^4 - x + 4 ).

3. Изучим поведение этой функции. Для этого найдем производную ( f(x) ), чтобы определить критические точки и интервалы возрастания/убывания функции.

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-0,5x^4 - x + 4) = -2x^3 - 1 ]

1. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ): [ -2x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = -\frac{1}{2} \implies x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ]

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка ( x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ).

2. Определим знак производной слева и справа от этой точки:

   • Для ( x < -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ), ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает).
   • Для ( x > -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ), ( f'(x) < 0 ) (функция убывает).

   Это значит, что в точке ( x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ) функция ( f(x) ) имеет максимум.

3. Теперь оценим значение функции ( f(x) ) в критической точке:

   [ f\left(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) = -0,5\left(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^4 - \left(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) + 4 ]

   Заметим, что (\left(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3}), это положительное число, и оно будет уменьшать значение функции. Однако, важнее отметить, что ( f\left(-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) ) будет положительным, так как ( -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ) добавляется в линейном члене и 4 остаётся положительным.

4. Для проверки пересечения функции ( f(x) = 0 ), осмотрим пределы при больших значениях ( x ):

   • Когда ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ), доминирует член ( -0,5x^4 ), и ( f(x) \to -\infty ).

5. Для понимания, сколько раз функция пересекает ось ( x ), рассмотрим ( f(x) ) в нескольких точках:

   • ( f(0) = -0,5(0)^4 - 0 + 4 = 4 ) (положительное значение).
   • ( f(2) = -0,5(2)^4 - 2 + 4 = -0,5(16) - 2 + 4 = -8 - 2 + 4 = -6 ) (отрицательное значение).

   Функция меняет знак между ( x = 0 ) и ( x = 2 ), а также между ( x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}} ) и большими отрицательными значениями.

6. Используя промежуточную теорему, которая утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и меняет знак, то существует хотя бы одна точка, где функция пересекает ось ( x ).

Таким образом, функция ( f(x) = -0,5x^4 - x + 4 ) имеет три корня:

• Один корень в промежутке ( (-\infty, -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}) )
• Один корень в промежутке ( (-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, 0) )
• Один корень в промежутке ( (0, 2) ).

Итак, уравнение (-0,5x^4 = x - 4) имеет три корня.

Для того чтобы найти количество корней уравнения -0,5x^4=x-4, нужно сначала привести его к стандартному виду, то есть собрать все члены в левой части уравнения и приравнять их к нулю:

-0,5x^4 - x + 4 = 0

Далее, чтобы найти корни уравнения, можно воспользоваться методом подбора корней. Попробуем подставить различные значения x и проверить, при каких из них уравнение будет выполняться.

Например, если подставим x = 1, то получим:

-0,5 * 1^4 - 1 + 4 = -0,5 - 1 + 4 = 2,5

При x = 1 уравнение не выполняется, значит, x = 1 не является корнем уравнения.

Продолжая подбор значений, мы можем найти корень уравнения.

Таким образом, уравнение -0,5x^4=x-4 имеет один корень.

Уравнение -0,5x^4=x-4 имеет 4 корня.

Решение:

-0,5x^4 = x - 4 -0,5x^4 - x + 4 = 0

Подставим x = -1 и x = 1:

-0,5(-1)^4 - (-1) + 4 = 0,5 + 1 + 4 = 5,5 ≠ 0 -0,5(1)^4 - 1 + 4 = 0,5 - 1 + 4 = 3,5 ≠ 0

Таким образом, уравнение имеет 4 корня.