Сколько рациональных членов содержит разложение (√3+√7)^100 по формуле бинома Ньютона?

Для нахождения количества рациональных членов в разложении выражения (\sqrt{3} + \sqrt{7})^{100} по формуле бинома Ньютона необходимо рассмотреть разложение в общем виде:

(\sqrt{3} + \sqrt{7})^{100} = C{100}^{0}(\sqrt{3})^{100}(\sqrt{7})^0 + C{100}^{1}(\sqrt{3})^{99}(\sqrt{7})^1 + C{100}^{2}(\sqrt{3})^{98}(\sqrt{7})^2 + . + C{100}^{100}(\sqrt{3})^0(\sqrt{7})^{100}

Для того чтобы рациональный член был получен в результате разложения, необходимо, чтобы степень корня в каждом из членов была четной. Так как корни \sqrt{3} и \sqrt{7} не являются рациональными, то их четные степени также не будут рациональными. Следовательно, в данном разложении не будет рациональных членов, так как степени корней в каждом из членов будут нечетными.

Для определения количества рациональных членов в разложении выражения ((\sqrt{3} + \sqrt{7})^{100}) по формуле бинома Ньютона, необходимо рассмотреть общую форму члена разложения бинома.

По формуле бинома Ньютона, разложение ((a + b)^n) имеет вид:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

В данном случае (a = \sqrt{3}), (b = \sqrt{7}) и (n = 100). Каждый член разложения будет иметь вид:

[ \binom{100}{k} (\sqrt{3})^{100-k} (\sqrt{7})^k = \binom{100}{k} (\sqrt{3})^{100-k} (\sqrt{7})^k ]

Чтобы определить, когда этот член является рациональным, нужно, чтобы произведение ((\sqrt{3})^{100-k} (\sqrt{7})^k) было рациональным числом. Это возможно только в том случае, если показатель степени каждой подкоренной величины является четным числом, поскольку корень четной степени натурального числа дает целое число, а корень нечетной степени — иррациональное.

Таким образом, необходимо, чтобы и (100-k), и (k) были четными. Если (100-k) четное число, то и (k) должно быть четным, поскольку сумма двух четных чисел всегда четная.

Обозначим (k = 2m), где (m) — целое число. Тогда:

[ 100 - 2m \quad \text{и} \quad 2m \quad \text{— оба четные.} ]

Теперь (m) может принимать целые значения от 0 до 50 включительно, так как (k) должно лежать в пределах от 0 до 100 (это 51 значение).

Таким образом, в разложении ((\sqrt{3} + \sqrt{7})^{100}) по формуле бинома Ньютона будет (51) рациональный член.