Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 6, 7, 8, 9, при условии, что цифры...

1) Для первого случая, когда цифры могут повторяться, можно использовать любую из 5 цифр в каждом разряде. Таким образом, количество трёхзначных чисел будет равно 5 5 5 = 125. Однако из них надо исключить числа, начинающиеся с нуля, так как ведущий ноль делает число двузначным, поэтому 125 - 25 = 100.

2) Для второго случая, когда цифры должны быть различными, в первом разряде может быть выбрана любая из 5 цифр, во втором - любая из оставшихся 4 цифр, а в третьем - любая из оставшихся 3 цифр. Таким образом, количество трёхзначных чисел будет равно 5 4 3 = 60.

Оба этих случая можно объяснить с помощью принципа умножения - для каждого разряда мы выбираем количество возможных вариантов, умножая их друг на друга для получения общего количества трёхзначных чисел.

1) Для каждой позиции в трёхзначном числе у нас есть 5 вариантов цифр. Поэтому общее количество трёхзначных чисел с повторяющимися цифрами будет 5 5 5 = 125. Однако из них надо исключить числа, начинающиеся с нуля, так как в числе не должно быть ведущего нуля, итого 125 - 25 = 100.

2) Для первой позиции у нас есть 5 вариантов цифр, для второй - 4 варианта, для третьей - 3 варианта. Всего получаем 5 4 3 = 60. Однако тут также не должно быть чисел, начинающихся с нуля, поэтому из 60 надо вычесть 12 (4 * 3 = 12), итого 60 - 12 = 48.

Давайте разберём оба случая отдельно.

1) Цифры могут повторяться

Для трёхзначного числа, первая цифра не может быть нулём, иначе число станет двухзначным. Поэтому для первой позиции у нас есть 4 возможных варианта: 6, 7, 8 или 9.

Для второй и третьей позиции можно использовать любую из 5 доступных цифр (0, 6, 7, 8, 9), так как они могут повторяться.

Таким образом, общее количество трёхзначных чисел в этом случае будет вычисляться как произведение количества вариантов для каждой позиции:

[ 4 \times 5 \times 5 = 100 ]

2) Цифры должны быть различными

Опять же, первая цифра не может быть нулём, так что у нас 4 варианта для первой позиции: 6, 7, 8 или 9.

Для второй позиции мы можем выбрать любую из оставшихся 4 цифр (включая 0, но исключая цифру, выбранную для первой позиции).

Для третьей позиции остаётся 3 возможные цифры, поскольку две уже заняты первой и второй позициями.

Таким образом, общее количество трёхзначных чисел с различными цифрами будет:

[ 4 \times 4 \times 3 = 48 ]

Итак, мы рассмотрели оба случая и объяснили, как получить количество возможных трёхзначных чисел в каждом случае.