Сократить дробь: 63^(n+1)/3^(2n+1)*7^(n-2)

Для сокращения данной дроби начнем с того, что разложим числитель и знаменатель на простые множители и упростим выражение по возможности.

Исходная дробь: [ \frac{63^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 7^{n-2}} ]

Заметим, что 63 можно представить как (63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7). Тогда числитель дроби можно переписать как: [ (3^2 \cdot 7)^{n+1} = 3^{2(n+1)} \cdot 7^{n+1} ]

Теперь подставим это в исходное выражение: [ \frac{3^{2(n+1)} \cdot 7^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 7^{n-2}} ]

Далее применим свойства степеней для упрощения выражения. Свойства гласят, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: [ 3^{2(n+1) - (2n+1)} \cdot 7^{(n+1) - (n-2)} = 3^{2n+2 - 2n-1} \cdot 7^{n+1 - n+2} ] [ = 3^{2n+2 - 2n - 1} \cdot 7^{n+1 - n + 2} ] [ = 3^1 \cdot 7^3 ] [ = 3 \cdot 343 ] [ = 1029 ]

Таким образом, дробь упростилась до целого числа ( 1029 ).

Для сокращения данной дроби нужно воспользоваться свойствами степеней и правилами умножения.

63^(n+1) = 3^2 3^n = 9 3^n 3^(2n+1) = 3^2 3^n = 9 3^n 7^(n-2) = 7^n / 7^2

Исходная дробь примет вид: (9 3^n) / (9 3^n * 7^n / 49)

После сокращения дроби получим: 49 / 7^n = 7^(2-n)