Сократить дробь а²-5b²/а+b√5

Чтобы сократить дробь (\frac{a^2 - 5b^2}{a + b\sqrt{5}}), можно использовать метод, заключающийся в умножении числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для (a + b\sqrt{5}) будет (a - b\sqrt{5}). Это действие поможет избавиться от иррациональности в знаменателе.

Умножим знаменатель на его сопряженное: [ (a + b\sqrt{5})(a - b\sqrt{5}) = a^2 - (b\sqrt{5})^2 = a^2 - 5b^2 ] Таким образом, умножение знаменателя на сопряженное приводит к (a^2 - 5b^2).

Теперь умножим числитель на то же сопряженное: [ (a^2 - 5b^2)(a - b\sqrt{5}) ] Однако, поскольку (a^2 - 5b^2) уже встречается как результат умножения знаменателя на сопряженное, дробь упрощается до: [ \frac{a^2 - 5b^2}{a + b\sqrt{5}} \cdot \frac{a - b\sqrt{5}}{a - b\sqrt{5}} = a - b\sqrt{5} ]

Таким образом, исходная дробь (\frac{a^2 - 5b^2}{a + b\sqrt{5}}) сокращается до (a - b\sqrt{5}).

Для того чтобы сократить данную дробь, сначала нужно произвести действия с числителем и знаменателем отдельно.

Разложим числитель на множители: а² - 5b² = (а + √5b)(а - √5b).

Теперь подставим это разложение в дробь и получим: (а + √5b)(а - √5b)/(а + b√5).

Теперь можно сократить (а - √5b) из числителя и знаменателя, и получим итоговое выражение: (а + √5b)/(а + b√5).