Сократить дробь: X^2+x-12/x^2+8x+16

Для сокращения данной дроби необходимо разложить ее на множители. Сначала разложим числитель: X^2 + x - 12 = (X + 4)(X - 3) Затем разложим знаменатель: X^2 + 8x + 16 = (X + 4)(X + 4) = (X + 4)^2

Подставляя разложенные множители, получаем: (X + 4)(X - 3) / (X + 4)^2

Теперь мы видим, что (X + 4) в числителе и знаменателе сокращаются, оставляя: (X - 3) / (X + 4)

Для того чтобы сократить дробь (\frac{X^2 + x - 12}{X^2 + 8x + 16}), необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и затем сократить общие множители.

Начнём с числителя (X^2 + x - 12). Нам нужно найти такие два числа, сумма которых равна коэффициенту при (x), то есть 1, а произведение равно свободному члену, то есть -12. Эти числа -3 и 4. Таким образом, можно разложить:

[X^2 + x - 12 = (X - 3)(X + 4).]

Теперь разложим знаменатель (X^2 + 8x + 16). Этот квадратный трёхчлен можно разложить как полный квадрат:

[X^2 + 8x + 16 = (X + 4)(X + 4) = (X + 4)^2.]

Теперь мы можем переписать дробь с учётом разложения:

[\frac{(X - 3)(X + 4)}{(X + 4)^2}.]

Общий множитель в числителе и знаменателе - это ((X + 4)). Сокращаем его:

[\frac{(X - 3)\cancel{(X + 4)}}{\cancel{(X + 4)}(X + 4)} = \frac{X - 3}{X + 4}.]

Таким образом, сокращённая форма дроби (\frac{X^2 + x - 12}{X^2 + 8x + 16}) — это (\frac{X - 3}{X + 4}), при условии что (X \neq -4), чтобы знаменатель не обращался в ноль.