Сократите дробь : 12a^2b+8ab^2/9a^2-4b^2
Сократите дробь : 12a^2b+8ab^2/9a^2-4b^2
Для сокращения дроби ( \frac{12a^2b + 8ab^2}{9a^2 - 4b^2} ) сначала найдем общий вид числителя и знаменателя.
В числителе ( 12a^2b + 8ab^2 ) можно выделить общий множитель:
[ 12a^2b + 8ab^2 = 4ab(3a + 2b) ]
В знаменателе ( 9a^2 - 4b^2 ) можно применить формулу разности квадратов ( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) ):
[ 9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b) ]
Теперь подставим факторизованные числитель и знаменатель в дробь:
[ \frac{12a^2b + 8ab^2}{9a^2 - 4b^2} = \frac{4ab(3a + 2b)}{(3a - 2b)(3a + 2b)} ]
Можно сократить на общий множитель ( (3a + 2b) ), так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе:
[ \frac{4ab(3a + 2b)}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{4ab}{3a - 2b} ]
Таким образом, сокращенная дробь будет:
[ \frac{4ab}{3a - 2b} ]
Это и есть окончательный ответ на данную задачу.
Для того чтобы сократить дробь ( \frac{12a^2b + 8ab^2}{9a^2 - 4b^2} ), необходимо выполнить несколько шагов: разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители. Разберем задачу поэтапно:
Знаменатель ( 9a^2 - 4b^2 ) является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле: [ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). ] Применяем эту формулу: [ 9a^2 - 4b^2 = (3a - 2b)(3a + 2b). ]
В числителе ( 12a^2b + 8ab^2 ) видим, что ( 4ab ) является общим множителем. Выносим его за скобки: [ 12a^2b + 8ab^2 = 4ab(3a + 2b). ]
Теперь перепишем дробь, подставив разложения числителя и знаменателя: [ \frac{12a^2b + 8ab^2}{9a^2 - 4b^2} = \frac{4ab(3a + 2b)}{(3a - 2b)(3a + 2b)}. ]
В числителе и знаменателе присутствует множитель ( (3a + 2b) ). Сокращаем его: [ \frac{4ab(3a + 2b)}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{4ab}{3a - 2b}. ]
Сокращенная форма дроби: [ \frac{4ab}{3a - 2b}. ]
Проверим, что сокращение выполнено корректно. Мы сократили множитель ( (3a + 2b) ), который присутствует и в числителе, и в знаменателе. Условие корректности: ( 3a + 2b \neq 0 ), то есть ( a \neq -\frac{2b}{3} ). Если это условие выполнено, результат корректен.
Итак, окончательный ответ: [ \frac{4ab}{3a - 2b}. ]
